Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (15 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Traian Dajma, Aurel Ionescu (doar completare), Stefan Gatachiu, Jean Henry Berevoescu, Ady Nicolae (doar completare), Viorel Manta, Mihaela Voinescu, Ioan Scutaru, Emil Claudiu Man (demonstatie fara detaliere),

 

Zoltan Szabo:

Fie descompunerea în factori primi a numărului n:

n=d₁^p1* d₂^p2*... *d_n^pn

Numărul tuturor divizorilor lui n este (p₁+1) (p₂+1)... (p_n+1).

Dacă acest număr este format din mai mulți termeni, atunci numărul va fi compus, deci nu respectă condiția problemei.

Deducem, că numărul este format dintr-un singur factor prim ridicat la o putere p₁ (n=d₁^p1)

În cazul în care p₁=1, valoarea p₁+1=2 avem număr prim, este cazul care apare în enunțul problemei.

În cazul în care p₁>1, vom avea p₁+1 număr prim diferit de 2. Toate celelalte numere prime sunt numere impare. Rezultă că p₁ este număr par. Adică n=d₁^p1=d₁^2k=(d₁^k)².

Deducem, că n este pătrat perfect format dintr-un singur factor prim ridicat la putere pară (nu neapărat la puterea 2)

 

Traian Dajma:

Dacă numărul tuturor divizorilor unui număr natural n este număr prim, atunci numărul n este sau prim sau .... PATRAT PERFECT.

Demonstratie:

1. Daca un numar natural are un numar de 2 divizori (1 si el insusi), este un numar prim. Numarul cu 2 divizori nu poate fi patrat perfect deoarece s-ar divide inclusiv la baza. n=a^2 => a I n. Un numar natural care are un numar de 2 divizori, este prim.

2. Pentru un numar avand un numar par de divizori, cu sirul divizorilor >2 (adica mai mult decat 1 si numarul insusi), sirul de divizori se poate imparti in 2 parti egale. A doua jumatate a sirului contine multiplii ai divizorilor din prima jumatate.

De exemplu: 80 = {[1; 2; 4; 5; 8] / [10; 16; 20; 40; 80]}. 80 = 1*80 = 2*40 = 4*20 = 5*16 = 8*10. Un numar par al divizorilor >2, arata ca numarul nu este prim si nici patrat perfect, deoarece un numar din primul sir nu poate fi egal cu un numar din al doilea sir, ca numarul natural sa poata fi scris ca patrat perfect.

3. Pentru un numar impar al divizorilor, adica impartind sirul divizorilor in doua subsiruri de la stanga la dreapta respectiv de la dreapta la stanga, la mijlocul sirului va ramane un divizor in plus. Iar a doua jumatate a sirului numarului divizorilor contine multiplii pentru primul sir. Adica numarul natural va putea fi scris ca a*(b*a). Unde "a" aprtine primului subsir de divizori, iar "b*a" simetricul lui a din al doilea subsir. Evident, a*(b*a) nu este patrat perfect doar daca "b" este patrat perfect.
Divizorul ramas la mijloc intre cele doua subsiruri de divizori ridicat la patrat va avea valoarea numarului natural al carui divizor este. Prin urmare, un numar impar de divizori arata un numar natural patrat perfect.

Cum numerele prime de divizori, mai putin 2 (pentru care am demonstrat mai sus) sunt numare impare, obtinem ca "dacă numărul tuturor divizorilor unui număr natural n este număr prim, atunci numărul n este sau prim sau patrat perfect".

 

Stefan Gatachiu: