Soluţii corecte primite de la Aurel Ionescu şi Zoltan Szabo.

Cea mai completă este data de Zoltan Szabo (care reia construcţia unui pătrat magic):

Conform enunţului, pătratul nostru va fi format din numere naturale distincte cu suma identică a numerelor pe aceeaşi linie, coloană sau diagonală.La această condiţie se adaugă cerinţele suplimentare ca fiecare triplet se numere să formeze laturile unui triunghi, respectiv suma tuturor elementelor să fie minimă.

Să construim un astfel de pătrat:

a
	x
		b

cele trei elemente de pe diagonală au suma constantă S=a+b+x

Deci şi diagonala secundară trebuie să aibă această sumă, ce poate fi adevărată numai dacă cele două elemente au aceeaşi diferenţă absolută faţă de a şi b, dar cu semn schimbat:

a		b+k
	x
a-k		b

Prima linie va avea suma a+b+x numai şi numai dacă elementul din mijloc este x-k. În mod analog elementul din mijloc de pe linia a 3-a va fi x+k.

a	x-k	b+k
	x
a-k	x+k	b

Conform coloanei a 2-a, deducem foarte repede suma celor 3 elemente va fi 3x.

Adică 3x=a+b+x, adică x=(a+b)/2. Rezultă că numerele a,x,b sunt în progresie aritmetică. Mai mult toate liniile orizontale, verticale şi oblice în care elementul din mijloc este x, formează o progresie aritmetică.

Reîncepem problema cu aceste cunoştinţe:

x+p	x-q
	x
	x+q	x-p

Ştiind că suma pătratului este 3x, putem completa şi celelalte câmpuri în ordinea a[1,3], a[3,1], a[2,1], a[2,3].

x+p	x-q	x-p+q
x-2p+q	x	x+2p-q
x+p-q	x+q	x-p

Alegând convenabil valorile x, p şi q obţinem pătratul magic din problemă.

Dacă adunăm toate elementele pătratului magic suma va fi 9x.

În scopul minimizării sumei,calculăm suma celor mai mici numere naturale distincte, obţinem suma 1+2+...+9=45, iar x=5. Astfel am obţinut o primă estimare pentru pătratul magic, alegem valorile q=4, p=3 astfel ca toate valorile să fie distincte:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Observăm că în acest pătrat elementul din mijloc este 5, patru elemente fiind mai mici decât 5 şi alte 4 sunt mai mari.

Într-o altă ordine de idei, pătratul conţine valoarea 1,  ce nu poate fi latura unui triunghi cu trei valori naturale distincte.

Pătratul îşi păstrează caracteristicile dacă fiecare la fiecare element adunăm o valoare a.

a+8	a+1	a+6
a+3	a+5	a+7
a+4	a+9	a+2

Ca toate liniile, coloanele, diagonalele să formeze triunghi, trebuie să avem în fiecare triplet cel mai mic element mai mare decât diferenţa absolută a celorlalte două elemente.

linia 1: a+1>8-6     rezultă a>1;

linia 2: a+3>7-5     rezultă a>-1;

linia 3: a+2>9-4     rezultă a>3;

coloana 1: a+3>8-4     rezultă a>1;

coloana 2: a+1>9-5     rezultă a>3;

coloana 3: a+2>7-6     rezultă a>-1;

d. princ.: a+2>8-5     rezultă a>1;

d. sec.: a+4>6-5     rezultă a>-3;

Cea mai mică valoare naturală pentru a este 4, iar pătratul magic cerut este

12     5    10

 7     9    11

 8    13     6

Asta este soluţia de bază. Alte 7 soluţii se pot obţine prin diferite simetrii (rotiri sau răsturnări orizontale şi verticale).

 

Problema 2. Pătrat magic cu aria triunghiului în loc de perimetrul triunghiului?

Am studiat problema şi nu am găsit soluţie.

Însă am găsit o variantă frumoasă pentru triunghiuri cu laturi numere reale cu produsul constant al laturilor din pătratul magic pe linie, coloană şi diagonală.

Posibil să se poată continua demonstraţia, întrucât relaţia S=abc/R sugerează că aria triunghiului are o legătură cu produsul celor trei laturi.

Transformând numerele naturale din pătratul magic clasic în numere exponenţiale cu baza a, obţinem un pătrat magic pe operaţiile de înmulţire cu produsul liniilor, coloanelor, diagonalelor egală cu P=a¹⁵.

a 8	a 1	a 6
a 3	a 5	a 7
a 4