B. Determinanți și pătrate magice
În mulțimea numerelor naturale, fie o progresie aritmetică de numere impare cu n2 termeni, unde n este de asemenea impar. Cu acești n2 termeni se construiește un pătrat magic de rang n, în care suma elementelor de pe fiecare linie, fiecare coloană și fiecare diagonală este constantă. Acestui pătrat magic i se asociază în mod normal un determinant care conține, în aceeași ordine, elementele pătratului magic corespunzător.
Arătați că valoarea unui asemenea determinant raportată la suma celor n2 numere ale pătratului magic este un număr întreg.
Exemplu: Pentru progresia aritmetică cu 9 termeni (n=3) dați de 1, 3, 5, ..., 17 se construiește pătratul magic de mai jos, pentru care suma elementelor este 81. Valoarea determinantului este -2592, iar rezultatul -2592/81 = 32, care este un număr întreg.
3 13 11
17 9 1
7 5 15
Sursa: problema originală (Vasile Trofin)
B. Determinants and magic squares
In the set of natural numbers, let be an arithmetic progression of odd numbers with n2 terms, where n is also odd. With these n2 terms, a magic square of rank n is constructed, in which the sum of the elements on each row, each column, and each diagonal is constant. This magic square is normally associated with a determinant that contains, in the same order, the elements of the corresponding magic square.
Show that the value of such a determinant divided to the sum of the n2 numbers of the magic square is an integer.
Example: For the arithmetic progression with 9 terms (n = 3) given by 1, 3, 5, ..., 17 the magic square below is constructed, for which the sum of the elements is 81. The value of the determinant is -2592, and the result - 2592/81 = 32, which is an integer.
3 13 11
17 9 1
7 5 15
Source: original puzzle (Vasile Trofin)
Logic
