Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!
Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Nicu Scutaru, Ionel-Vasile Pit-Rada.
Zoltan Szabo:
Pentru a rezolva problema, în prealabil vom studia proprietatea seriei formate din n numere impare.
Sn= 1+3+...+2n-1
Se poate demonstra cu inductie matematica, ca Sn=n2 pentru orice numar natural nenul.
Intr-adevar pentru n=1 avem 1=1 (Adevarat)
Presupunem că pentru n=k propozitia următoare este adevarata pentru orice k>=1 :
P(k): Sk=1+3+...+2k-1 = k2 (Adevarat)
Vom studia valoarea de adevar al lui P(k+1): Sk+1=1+3+...+2k+1 = (k+1)2
Intrucat suma termenilor fara ultimul termen (k+1) este definita de P(k), pe care am acceptat-o ca adevarat, avem 1+3+...+2k-1 = k2, inlocuind în P(k+1) obținem
P(k+1): Sk+1=k2+2k+1 = (k+1)2 (Adevărat)
Am demonstrat că Sn=1+3+...+2n-1=n2 pentru orice număr natural nenul.
Dacă înlocuim în formulă n cu n2, vom obține Sn^2=1+3+...+2n2-1=n4.
Pătratul nostru magic este format din primele n2 numere impare.
|
A11 |
A12 |
... |
A1n |
|
A21 |
A22 |
... |
A2n |
|
... |
... |
... |
... |
|
An1 |
An2 |
... |
Ann |
Știind că toate liniile, coloanele și diagonalele au suma constantă și suma tuturor elementelor este n4, deducem pentru constanta pătratului valoarea n4/n = n3.
Adică suma elementelor de pe fiecare linie și coloană are valoarea n3.
În concluzie valoarea determinantului
|
A11 |
A12 |
... |
A1n |
|
A21 |
A22 |
... |
A2n |
|
... |
... |
... |
... |
|
An1 |
An2 |
... |
Ann |
este egală cu
|
A11+ A12+ ... +A1n |
A12 |
... |
A1n |
|
A21+ A22+ ... +A2n |
A22 |
... |
A2n |
|
... |
... |
... |
... |
|
An1+ An2+ ... +Ann |
An2 |
... |
Ann |
egală cu
|
n3 |
A12 |
... |
A1n |
|
n3 |
A22 |
... |
A2n |
|
... |
... |
... |
... |
|
n3 |
An2 |
... |
Ann |
egală cu
|
n3 |
1 |
A12 |
... |
A1n |
|
1 |
A22 |
... |
A2n |
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
1 |
An2 |
... |
Ann |
(coloana din stanga reprezinta constanta scoasa ca factor comun din determinant)
egal cu
|
n3 |
1+1+...+1 |
A12+ A22+ ... +An2 |
... |
A1n+ A2n+ ... +Ann |
|
1 |
A22 |
... |
A2n |
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
1 |
An2 |
... |
Ann |
(coloana din stanga reprezinta constanta scoasa ca factor comun din determinant)
egal cu
|
n3 |
n |
n3 |
... |
n3 |
|
1 |
A22 |
... |
A2n |
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
1 |
An2 |
... |
Ann |
(coloana din stanga reprezinta constanta scoasa ca factor comun din determinant)
egal cu
|
n4 |
1 |
n2 |
... |
n2 |
|
1 |
A22 |
... |
A2n |
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
1 |
An2 |
... |
Ann |
(coloana din stanga reprezinta constanta scoasa ca factor comun din determinant)
Determinantul din dreapta are toate elementele numere naturale, deci valoarea lui este un număr întreg.
Astfel am demonstrat că determinantul inițial este multiplu de n4, deci împărțind cu n4 se obține un număr întreg.
Proprietatea este adevărată atât pentru numere naturale impare cât și pentru numere pare.
Ionel-Vasile Pit-Rada:
Suma tuturor elementelor patratului magic este egala cu suma primelor n^2 numere impare deci este egala cu n^4. Suma in fiecare linie/coloana/diagonala va fi egala cu n^3.
Adunand liniile 2,3,...,n la linia 1 se obtin in linia 1 n elemente egale cu suma coloanelor deci n^3. Putem scoate factor comun in afara determinantului valoarea n^3, iar in linia 1 raman valori egale cu 1.
Adunand acum coloanele 2,3,...,n la coloana 1 se obtine la elementul a(1,1) al determinantului valoarea n, iar celelalte elemente de pe coloana 1 vor fi egale cu n^3. Scoatem acum factor comun n.
Se observa astfel ca valoarea determinantului este un numar intreg multiplu de n^4, adica multiplu al sumei primelor n^2 numere impare.
Logic
