Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Nicu Scutaru, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada.

Nota: Enuntul problemei a continut o eroare, asa cum a fost evidentiat de Viorel Manta si Ionel-Vasile Pit-Rada: nu trebuia precizat patrulater regulat pentru patrulaterul care incadreaza patrulaterul neregulat. In consecinta, Viorel Manta  primeste de asemenea punctajul aferent problemei. Daca mai exista rezolvitori care au pierdut punctaj din aceasta cauza, va rog sa ne scieti. In continuare, dam solutia initial asteptata.

 

Zoltan Szabo:

In patrulaterul ABCD avem diagonalele AC și BD.

Construim două drepte paralele cu AC care să conțină punctele B respectiv D. 

De asemenea construim dreptele paralele cu BD care să conțină punctele A și C.

Astfel obținem un paralelogram, întrucât avem 4 laturi paralele două câte două. 

Știind că patrulaterul ABCD are suprafața S, oare ce suprafață are paralelogramul nostru nou-construit?

Este ușor de observat că fiecare latură a patrulaterului: AB, BC,CD și DA sunt diagonale în câte un paralelogram mai mic.

Aceste diagonale împart suprafața fiecărui paralelogram în două triunghiuri congruente.

În toate cazurile o suprafață triunghiulară aparține interiorului patrulaterului ABCD, iar cealaltă parte este în  exteriorul acestuia.

Cum cele două suprafețe au valori egale, rezultă că paralelogramul construit de noi are suprafța 2S și reprezintă răspunsul la cerință.

 

Nicu Scutaru:

Desenam  patrulaterul neregulat ABCD de arie S.

Prin vârfurile A, C respectiv B, D ducem paralele la diagonalele (BD) respectiv (AC).

Observam ca prin aceasta constructie se formeaza paralelogramele: AEBO, BFCO, CGDO, DHAO. 

Fiecare paralelogram are o diagonala egala cu una dintre cele patru laturi ale patrulaterului ABCD, diagonala ce imaprte paralelogramul din care face parte, in doua arii egale fiecare cu una dintre cele patru arii interioare ale patrulaterului ABCD:  S1, S2, S3, S4 care insumate dau S: S1+S2+S3+S4=S.

Vom arata ca aria paralelogramului EFGH este dublul ariei S a patrulaterului  dat, ABCD.

Aria EFGH=  Aria AEBO +Aria BFCO + Aria CGDO + Aria DHAO = 2S1+ 2S2 + 2S3 + 2S4 =2(S1 + S2 + S3 + S4)= 2S. 

Laturile patrulaterului EFGH sunt egale cu diagonalele patrulaterului neregulat dat, ABCD, astfel:

EF=HG=AC;

EH=FG=BD.