Soluţii corecte: Ionel Dobre, Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Aurel Ionescu, Stefan Gatachiu, Viorel Manta

Zoltan Szabo:

Patru drepte formează număr maxim de triunghiuri dacă oricare două se intersectează în puncte diferite.

În consecinţă oricare trei drepte luate la întâmplare nu sunt concurente, deci formează câte un triunghi separat.

Numărul maxim de triunghiuri distincte formate cu patru drepte deci este egal cu numărul combinărilor de 4 elemente luate câte 3.

Comb(4,3)=(4*3*2)/(1*2*3)=4

În mod analog numărul maxim de triunghiuri distincte formate cu 5 drepte este egal cu numărul combinărilor de 5 elemente luate câte 3.

Comb(5,3)=(5*4*3)/(1*2*3)=10

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Fie d1,d2,d3 cele trei drepte care initial formeaza 1 triunghi. Notam varfurile cu A12,A13,A23.
Se poate duce dreapta d4 care sa taie dreptele d1,d2,d3 in trei puncte diferite. Notam punctele de intersectie cu A14, A24, A34.
Fiecare doua dintre cele 3 puncte care se afla pe dreapta d4 produc aparitia a cate unui nou triunghi:
A14 si A24 => formeaza triunghi cu A12
A14 si A34 => formeaza triunghi cu A13
A24 si A34 => formeaza triunghi cu A23
Avem astfel inca 3 triunghiuri.
Deci prin trasarea a 4 linii obtinem in total 4 triunghiuri.
Daca se mai traseaza inca o dreapta d5 ea va putea intersecta toate cele 4 drepte duse anterior si se formeaza astfel inca 4 puncte de intersectie. Notam aceste puncte cu A15,A25,A35,A45.
Fiecare doua dintre cele 4 puncte care se afla pe dreapta d5 produc aparitia a cate unui nou triunghi:
A15 si A25 => formeaza triunghi cu A12
A15 si A35 => formeaza triunghi cu A13
A15 si A45 => formeaza triunghi cu A14
A25 si A35 => formeaza triunghi cu A23
A25 si A45 => formeaza triunghi cu A24
A35 si A45 => formeaza triunghi cu A34
Au aparut astfel inca 6 triunghiuri.
Deci prin trasarea a 5 linii obtinem in total 10 triunghiuri.
Observatie:
A sasea linie ar putea produce inca 5 puncte si aparitia a inca 10 triunghiuri, deci in total 20 triunghiuri.
A saptea linie ar putea produce inca 6 puncte si aparitia a inca 15 triunghiuri, deci in total 35 triunghiuri.
Formula care ne da numarul de triunghiuri in functie de numarul n al liniilor trasate (astfel incat sa existe n*(n-1)/2 puncte de intersectie distincte) este T(n)=n*(n-1)*(n-2)/6.

Stefan Gatachiu:

Numărul maxim de triunghiuri se obține când oricare 3 drepte formează un triunghi.

Pentru 3 linii, numărul maxim comb(3,3) = 1 este:

Pentru 4 linii numărul maxim este comb(4,3) = 4 triunghiuri:

Avem triunghiurile ABC, CDF, ADE, BEF.

Pentru 5 linii numărul maxim de triunghiuri este  comb(5,3) = 10:

Avem triunghiurile: ABC, CDF, ADE, BEF, CGI, DIJ, FGJ, EJH, BGH, AIH.