B. Calculator ciudat
Calculatorul dvs. de buzunar s-a stricat. Observați că acesta nu folosește la calcule numărul așa cum îl introduceți dvs. de la tastatură, ci realizează mai întâi o amestecare a cifrelor sale. Această amestecare se păstrează constantă pentru un număr de lungime dată. Spre exemplu, să presupunem că tastați 719 și calculatorul consideră numărul introdus 179. Atunci, dacă tastați 179, calculatorul va considera numărul introdus egal cu 719. Mai exact, pentru exemplul dat, pentru orice număr de 3 cifre introdus, în calcule interschimba primele 2 cifre și lasă a treia cifră pe loc. Folosiți acest calculator ca să realizați calcule cu numere de ... 2020 de cifre. Cum procedați ca să fiți siguri că răspunsul este corect indiferent de calculele elementare pe care doriți să le efectuați (-, -, *, / )? Pentru că sunteți în mare grabă să duceți treaba la bun sfârșit și aveți de realizat un număr mare de calcule, se cere o soluție care să vă ofere funcționarea corectă cât mai rapidă.
Sursa: problema originală (Ruxandra F. Olimid)
B. Strange calculator
Your calculator broke. You realize that, in the computations, it does not use the number as you enter it from the keyboard but first swaps its digits. This permutation is kept constant for a given length number. For example, suppose you type 719, and the calculator considers the number entered 179. Then, if you type in 179, the calculator considers the number entered equal to 719. Specifically, for the example given, for any 3-digit number typed in, the calculator swaps the first two digits and leave the third digit in place. You use this calculator to perform calculations with numbers of ... 2020 digits. How do you make sure the answer is correct regardless of the basic calculations you want to do (-, -, *, /)? Because you are in a hurry to get the job done, and you have to do a large number of calculations, you need a solution that will give you the correct answers as soon as possible.
Source: original puzzle (Ruxandra F. Olimid)
Logic
O precizare , vă rog , numărul introdus la tastatură se afișează corect pe display ?
Pe display se afiseaza numarul asa cum este introdus. Ulterior, inainte de efectuarea operatiei, este amestecat. Rezultatul este afisat pe display.
Rezultatul se afiseaza dupa aceeasi reguli? Sau corect?
Primele 3 cifre ale unui numar cu 7 cifre sunt supuse aceleiasi reguli ca si in cazul unui numar cu 3 cifre? (de exemplu, cifra sutelor si cifra zecilor sunt schimbate in ambele cazuri). Sau pentru fiecare numar de cifre exista alta regula?
Rezultatul se afiseaza corect.
Problema cere o solutie pentru calcule pe exact 2020 cifre introduse (nu prezinta interes un alt nr. de cifre).
Nu e clar contextul problemei.
Pentru un numar cu 3 cifre sunt inversate primele 2 asta e clar. Dar pentru un numar de 4 cifre care e mecanismul? Sunt inversate (si in ce maniera?) primele 3?
Analog si pt un numar mai mare ca 4, care e regula de modificare interna a calculatorului defect?
Exista o discordanta in cele afirmate in raspunsurile la comentariile facute:
Pe de o parte se afirma ca dupa introducere cifrele sunt interschimbate, cu ele se efectueaza calculele si rezultatul este afisat (rezultat care logic nu e cel corect).
Iar mai incolo se afirma ca rezultatul afisat este cel corect. Cum sa intelegem asta?
Regula pentru amestecarea cifrelor este aceea din exemplu sau o stabilește rezolvatorul problemei , mai precis , dacă se stabilește o regulă pentru un anumit număr de cifre , regula se repetă cu o perioadă identică pe toată lungimea numărului ? . Eroarea de introducere în calcul a numărului tastat se produce și pentru un număr cu o singură cifră ?
@vioman99: Nu e clar contextul problemei. Pentru un numar cu 3 cifre sunt inversate primele 2 asta e clar.
Raspuns: Nu, acesta este doar un exemplu. Ar putea fi mutate si toate cele 3 cifre pe alte pozitii, ex. 179 sa fie considerat 791.
Dar pentru un numar de 4 cifre care e mecanismul? Sunt inversate (si in ce maniera?) primele 3? Analog si pt un numar mai mare ca 4, care e regula de modificare interna a calculatorului defect?
Raspuns: Regula nu se cunoaste, se stie doar ca regula de amestecare ramane mereu aceeasi pentru numere de o anumita lungime (in cazul nostru de interes 2020): "Această amestecare se păstrează constantă pentru un număr de lungime dată."
@vioman99: "Exista o discordanta in cele afirmate ..."
Raspuns: Am afirmat in comentariul precedent ca rezultatul este afisat corect (nu ca este neaparat corect dpdv matematic) - aceasta inseamna ca nu se mai realizeaza inca o amestecare inainte de afisarea rezultatului.
@trofin: "Regula pentru amestecarea cifrelor este aceea din exemplu sau o stabilește rezolvatorul problemei , mai precis , dacă se stabilește o regulă pentru un anumit număr de cifre , regula se repetă cu o perioadă identică pe toată lungimea numărului ? . Eroarea de introducere în calcul a numărului tastat se produce și pentru un număr cu o singură cifră ?"
Raspuns: Nu este cea din enunt, in enunt este doar un exemplu. Regula nu trebuie neaparat sa fie una repetitiva, poate fi orice amestecare posibila. Pentru o singura cifra nu exista decat o singura amestecare (orice numar de o singura cifra ramane pe loc).
Ce inseamna ca rezultatul este corect dar nu din punct de vedere matematic?
O problema care naste atatea intrebari ma intreb la ce ne foloseste....
Totusi nu suntem la OIM...
Inteleg din intrebarea dvs. ca nu v-a lamurit raspunsul anterior? M-am referit la o afisare corecta, in sensul ca se afiseaza ce s-a calculat, fara sa se mai amestece inca o data rezultatul pana la afisare. Sa luam un exemplu, ca sa fie clar. Sa spunem ca pentru 2 cifre se realizeaza o amestecare de tipul cifra de pe poz.unitatilor trece pe poz. zecilor si invers. Se introduce 12, care in calcule se considera 21. Se apasa semnul +. Se introduce 34 care in calcule se considera 43. Se realizeaza adunarea 21 + 43 = 64. Se afiseaza "corect" rezultatul 64 (adica nu se mai realizeaza o inversare in 46; nota: aceasta completare a venit ca un raspuns la o intrebare adresata pe forum, dar rezulta direct si din enuntul problemei). Normal, dpdv matematic rezultatul nu este corect pentru ca 12 + 34 = 46 (acesta este rezultatul la care vrea sa ajunga cel care realizeaza calculul!). Problema cere ca cel care utilizeaza acest calculator stricat sa gaseasca o strategie care sa ii permita sa rezolve calculele pe care trebuie sa le realizeze cu numere pe 2020 de cifre.
Va asigur ca dificultatea problemei este departe de OIM (de fapt rezolvarea este destul de simpla), iar punerea enuntului intr-o forma in care problema matematica nu este direct enuntata, ci pe care trebuie sa o descoperiti cred ca o incadreaza direct in sfera problemelor de "logica". Daca mai aveti nelamuriri va rog sa le postati aici.
Mai adaug o nota, pentru ca am primit cateva raspunsuri care se incadreaza ca si mod de gandire, dar nu dau raspunsul exact. Strategia trebuie sa fie optima, adica trebuie indicat cum anume procedati ca sa obtineti rezultatul corect cat mai repede (dupa un numar cat mai mic de utilizari al calculatorului stricat). Indicati strategia indicand pasii exacti si cate utilizari sunt necesare.
@szabozoltan: Primele 3 cifre ale unui numar cu 7 cifre sunt supuse aceleiasi reguli ca si in cazul unui numar cu 3 cifre? (de exemplu, cifra sutelor si cifra zecilor sunt schimbate in ambele cazuri). Sau pentru fiecare numar de cifre exista alta regula?
Raspuns: Nu, primele 3 cifre nu sunt mereu amestecate la fel. Pentru fiecare numar de cifre exista o alta regula de amestecare, regulile de amestecare fiind independente. Se stie doar ca regula de amestecare nu se schimba pentru o lungime data.