Au dat soluţii corecte: Ady Nicolae, Aurel Ionescu şi - parţial - Zoltan Szabo.

Prezint însă rezolvarea originală (data in 2005 de Ruxandra Olimid, Alexandru Sofronia şi Vlaicu Crişan), deoarece este mai scurtă şi mai clară.

Faptul ca Ionescu si Popescu au dat raspunsuri gresite conduce la ideea ca sunt mai multe triplete posibile cu aceeasi suma si acelasi produs.

Deci se cauta multimi de (cel putin) doua triplete {(a,b,c), (a',b',c')} cu

4 < a <= b <= c < 20,   4 < a' <= b' <= c' < 20 si

a + b + c = a' + b' + c',   a * b * c = a' * b' * c'.

Cu un program simplu se obtine urmatoarea lista de triplete:

  S       P        Triplete

---------------------------------------

 13      36    (1, 6, 6),  (2, 2, 9)

 14      40    (1, 5, 8),  (2, 2, 10)

 14      72    (2, 6, 6),  (3, 3, 8)

 14      90    (2, 5, 9),  (3, 3, 10)

 17     144    (3, 6, 8),  (4, 4, 9)

 19     144    (2, 8, 9),  (3, 4, 12)

 20      90    (1, 9, 10), (2, 3, 15)

 21      96    (1, 8, 12), (2, 3, 16)

 21     168    (2, 7, 12), (3, 4, 14)

 21     240    (3, 8, 10), (4, 5, 12)

 22     360    (5, 8, 9),  (6, 6, 10)

 23     360    (4, 9, 10), (5, 6, 12) (*)

 24     240    (3, 5, 16), (2, 10, 12)

 25     360    (4, 6, 15), (3, 10, 12)

 26     270    (2, 9, 15), (3, 5, 18)

 26     288    (4, 4, 18), (2, 12, 12)

 27     480    (4, 8, 15), (5, 6, 16)

 28     432    (3, 9, 16), (4, 6, 18)

 28     450    (5, 5, 18), (3, 10, 15)

 28     560    (5, 7, 16), (4, 10, 14)

 28     576    (6, 6, 16), (4, 12, 12)

 28     630    (5, 9, 14), (6, 7, 15)

 29     504    (3, 12, 14), (4, 7, 18)

 29     720    (5, 12, 12), (6, 8, 15)

 30     840    (6, 10, 14), (7, 8, 15)

 31     720    (4, 12, 15), (5, 8, 18)

 31    1008    (7, 12, 12), (8, 9, 14)

 32    1008    (6, 12, 14), (7, 9, 16)

 34    1152    (6, 12, 16), (8, 8, 18)

 35    1260    (6, 14, 15), (7, 10, 18)

 35    1440    (8, 12, 15), (9, 10, 16)  (*)

 38    1800    (8, 15, 15), (10, 10, 18)

 40    2160    (9, 15, 16), (10, 12, 18)

 

In faza a doua se cauta in lista (daca exista) doua triplete de forma

(a, b, c),  (a - 4, b - 4, c - 4).

Exista o singura solutie (marcata *) care verifica aceasta conditie: (9, 10, 16) si respectiv

(5, 6, 12).

Deci copii gazdei au 9, 10 respectiv 16 ani, iar Ionescu a gresit dand varstele 8, 12 si respectiv 15 ani. Cu 4 ani in urma, Popescu a prezentat varianta gresita (4, 9, 10).

 

Problema impune restricţia ca toţi copii sa se fi nascut in cadrul casniciei. Daca se ignoră această condiţie, atunci exista si a doua solutie (6, 7, 20).

Într-adevăr:

In urma cu 4 ani varstele (2, 3, 16) au suma 21 si produsul 96.

Aceeasi suma si acelasi produs le au varstele (1, 8, 12).

In prezent varstele (6, 7, 20) au suma 33 si produsul 840.

Aceeasi suma si acelasi produs le au varstele (4, 14, 15).

 

Bineinteles, in cazul in care copilul cel mare poate avea si peste 20 ani exista

mai multe solutii posibile. O parte din ele:

(6, 10, 25), (7, 9, 22), (10, 11, 24), (11, 12, 24) si (12, 14, 25).

 

2. Pentru cazul când se înlocuieţte "acum 4 ani .." cu "acum n ani ..", o analiza a tabelului anterior duce la urmatoarea concluzie:

 n     Solutii posibile

-----------------------------

 1      (3, 3, 10), (4, 4, 9), (5, 7, 16), (7, 9, 16)

 2      (5, 6, 16), (6, 12, 16), (8, 8, 18)

 3      (6, 7, 15), (7, 8, 15), (8, 15, 15)

 4      (9, 10, 16)

 5      (6, 14, 15)

 6      (7, 12, 12)

 7      (8, 12, 15), (9, 10, 16)

 8      (10, 10, 18)

 9         -    

Deci exista solutii unice pentru n = 4, 5, 6 si 8 ani.