Am primit soluţii de la Aurel Ionescu (soluţie în 7 zile), Camelia Muşetescu (30 zile), Zoltan Szabo (soluţie parţială).

Soluţia lui Aurel Ionescu este:

Pentru ca B, C, D, E  sa ia exact două valori distincte, avem urmatoarele posibilitati

B=C diferit de D=E

B=D  diferit de C=E

B=E  diferit de C=D

B=C=D  si diferit de E

B=C=E  si diferit de D

B=D=E  si diferit de C

C=D=E  si diferit de B

Dar pe noi ne intereseaza sumele acestor preturi si daca acestea sunt sau nu 0 (mod5)

Deci B + C = D + E (mod 5)
B + D = C + E (mod 5)
C + D = B + E (mod 5)
B + C + D = 3E (mod 5)
B + C + E = 3D (mod 5)
B + D + E = 3C (mod 5)
C + D + E = 3B (mod 5)

          Vom face un set de cumparaturi pentru 14 zile, urmand ca restul zilelor pana la sfrsitul lunii sa il completam de exemplu numai cu produse A cate dorim astfel incat sa putem controla cum dorim rezulatatul in functie de numarul de zile al lunii.

 ABC
ADE
ABD
ACE
ACD
ABE
ABCD
ABCE
ABDE
ACDE
AEEE
ADDD
ACCC
ABBB

Daca una din egalitatile de mai sus nu are loc, atunci penalizarlile pentru primele 14 zile nu vor reprezenta numar intreg.

          Sau putem merge pe o varianta de 7 zile eventual inmultita cu 4 si completata cu A convenabil in functie de luna (daca este de 30 sau 31 de zile)

BCDDDDEEEE
BCCCCDEEEE
BCCCCDDDDE
BCDEE
BCDDE
BCCDE
BBCDE
          Interesant este ca avem 600 de variante pentru preturile produselor B-E din care pentru un singur pret 5 posibilitati, pentru doua 137, pentru trei 346 si pentru patru preturi diferite 112. Deci cea mai mare probabilitate este ca preturile sa ia trei valori distincte, urmata apoi de varianta noastra.

Notă AA:

          Soluţia problemei de pe site este tot pe 7 zile (mai jos este justificarea, netradusa):

Expressing these in modular arithmetic terms, you get fined for each 
B + C = D + E (mod 5)
B + D = C + E (mod 5)
C + D = B + E (mod 5)
B + C + D = 3E (mod 5)
B + C + E = 3D (mod 5)
B + D + E = 3C (mod 5)
C + D + E = 3B (mod 5)

Obviously, the number of fines is constant when rearranging B, C, D, and E, and performing any invertible linear transformation on B, C, D, E.
So all you need to check to prove correctness is one candidate from each equivalence class:
0, 0, 0, 0 (0 fines)
0, 0, 0, 1 (7 fines)
0, 0, 1, 1 (5 fines)
0, 0, 1, 2 (6 fines)
0, 0, 1, 4 (4 fines)
0, 1, 2, 3 (6 fines)

Note that 0=5 (mod 5).

Este inutil să adaug soluţia proprie (pe 28 zile).