Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Ionel-Vasile Pit-Rada, Zoltan Szabo, Nicu Scutaru.

Nota: Autorul a gandit initial problema in sensul ca cei 2 alergatori alearga in acelasi sens, nu unul spre celalalt. Solutiile rezolvitorilor considera ca alergatorii alearga unul catre celalalt.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Notam distanta initiala dintre A si B cu d.

Dupa ce cainele s-a intalnit cu B distanta d a devenit d*(VC-VA)/(VC+VB)

Apoi, dupa ce cainele s-a intalnit cu A distanta a devenit d*((VC-VA)/(VC+VB))*((VC-VB)/(VC+VA)).

Daca notam fB=(VC-VA)/(VC+VB) si fA=(VC-VB)/(VC+VA), atunci observam ca sirul de valori ale distantelor ramase de parcurs este:

d, d*fB, d*fB*fA, d*fB^2*fA, d*fB^2*fA^2,...

Dupa 2*k schimbari de sens ale cainelui avem d*fA^k*fB^k

Dupa 2*k-1 schimbari de sens ale cainelui avem d*fA^(k-1)*fB^k

Deplasarile se opresc atunci cand fractia d*fA^(k-1)*fB^k devine subunitara

Astfel in cazul concret vom avea fB=3/8 si fA=4/9

3/8, 3/8*4/9=1/6, 1/6*3/8=1/16, 1/16*4/9=1/36, 1/36*3/8=1/96, 1/96*4/9=1/216, 1/216*3/8=1/576, 1/576*4/9=1/1296

In total  cainele va face 8 curse.

 

Zoltan Szabo:

Conform vitezelor vA=6000 m/oră respectiv vB=4000 m/oră, cei doi alergători în 60 de minute parcurg cumulativ 10000 m. Deci cele 1000 de metri ale cursei vor fi parcurse în 6 minute.

Deci cursa va ține 6 minute. În acest timp câinele va alerga alternativ dinspre A către B, apoi către A , apoi către B, șamd. Alergarea câinelui se va termina atunci când distanța dintre cei doi va scădea sub 1m.

Pentru simplitate, timpii intermediari le vom calcula în minute, cu valori zecimale, fără a le converti în secunde. Vom defini mai multe șiruri pentru distanță și timp. Șirul timpilor cumulativi converge către 6 (minute), șirul distanțelor cumulative converge către 1000 (metri).

Cursele sunt numerotate cu 1, 2, 3, ... Indicele 0 se referă la valorile inițiale înainte să înceapă cursa.

Vom folosi următoarele notații:

dAB(i)  distanța dintre A și B după terminarea cursei (i). Înainte de începerea cursei (i) distanța dintre cei doi a fost dAB(i-1). Pentru fiecare cursă în parte, această distanță va fi parcursă de către câine și alergătorul către care se îndreaptă câinele (A sau B). Înainte de începerea tuturor curselor avem valoarea inițială dAB(0)=1000.     

dA(i), dB(i), dC(i) – distanțele parcurse de către A, B respectiv C (câine) în cursa (i).

t(i) – timpul de parcurgere al cursei (i), măsurat în minute (număr real).

Pentru orice i>0 avem următoarele formule:

                t(i)=dAB(i-1)*60/(vC+vB) , dacă i=2k+1    (i este impar, câinele aleargă către B)

                t(i)=dAB(i-1)*60/(vC+vA) , dacă i=2k        (i este par, câinele aleargă către A)

                dA(i)=vA*t(i)/60

                dB(i)=vB*t(i)/60

                dC(i)=vC*t(i)/60

                dAB(i)=dAB(i-1)-dA(i)-dB(i)

La aceste formule vom atașa

                d_total(i) = 1000 - dAB(i), distanța totală parcursă după terminarea cursei (i) de către A și B,

                t_total(i) = t_total(i-1) + t(i), timpul total necesar parcurgerii primelor (i) curse.

În tabelul alăturat avem valorile șirurilor definite mai înainte. Vom avea în total 8 curse:

CURSA

dAB

dA

dB

dC

t

d_total

t_total

initial

1000

0

0

0

0

0

0

cursa 1

375

375

250

750

3,75

625

3,75

cursa 2

166,666

125

83,333

250

1,25

833,333

5

cursa 3

62,5

62,5

41,666

125

0,625

937,5

5,625

cursa 4

27,777

20,833

13,888

41,666

0,208

972,222

5,833

cursa 5

10,416

10,416

6,944

20,833

0,104

989,583

5,937

cursa 6

4,629

3,472

2,314

6,944

0,034

995,370

5,972

cursa 7

1,736

1,736

1,157

3,472

0,017

998,263

5,989

cursa 8

0,771

0,578

0,385

1,157

0,005

999,228

5,995

Câinele a parcurs în total 8 curse. După terminarea celei de-a 8-a curse distanța dintre A și B va fi de 0,771 metri, adică câinele nu mai are nici interes, nici posibilitate de a alerga.

După 8 curse distanța cumulativă este d_total(8)=999,228 metri, au trecut în total t_total(8)=5,995 minute.