Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada.
Zoltan Szabo:
La fiecare pas se creează pătrate tot mai mici. Vom considera la fiecare pas în parte, că pătratul cel mai mic are latura 1, deci pătratul de latură 1 de la pasul anterior devine pătrat de latură 2.
Observăm că la fiecare pas pe lângă pătratele existente care s-au numărat deja, se creează pătrate noi, care pot avea lungimea laturii 1, 2, 3 sau 4.
Am desenat pătratele pentru pașii 0-5. Tabelul de mai jos conțne numărul pătratelor noi de diferite laturi, ce vor apărea la etapa respectivă:
|
pasul |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
l=1 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
|
l=2 |
1 |
1 |
5 |
13 |
29 |
61 |
|
l=3 |
|
|
4 |
12 |
28 |
60 |
|
l=4 |
|
|
|
2 |
6 |
14 |
Astfel se poate generaliza până la 100:
|
pasul |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
... |
k |
... |
100 |
|
l=1 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
... |
2k+2 |
... |
2102 |
|
l=2 |
1 |
22-3 |
23-3 |
24-3 |
25-3 |
26-3 |
27-3 |
28-3 |
... |
2k+1-3 |
... |
2101-3 |
|
l=3 |
|
22-4 |
23-4 |
24-4 |
25-4 |
26-4 |
27-4 |
28-4 |
... |
2k+1-4 |
... |
2101-4 |
|
l=4 |
|
|
21-2 |
22-2 |
23-2 |
24-2 |
25-2 |
26-2 |
... |
2k-1-2 |
... |
299-2 |
Numărul pătratelor le vom calcula pe fiecare linie în parte:
pentru l=1 obținem: 22+23+...+2102 = 2103 – 4
pentru l=2 obținem: 1 + (22-3)+(23-3)+...+(2101-3) = 1 + 2102 – 4 – 100*3 = 2102 – 303
pentru l=3 obținem: (22-4) + (23-4) + ... + (2101-4) = 2102 – 4 – 400 = 2102 – 404
pentru l=4 obținem: (21-2) + (22-2) + ... + (299-2) = 2100 – 2 – 2*99 = 2100 – 200
Deci numărul maxim al pătratelor va fi egal cu suma celor 4 rezultate de mai sus:
NRMAX = 2103 – 4 + 2102 – 303 + 2102 – 404 + 2100 – 200 = 8*2100 + 4*2100 + 4*2100 + 2100 – 911
NRMAX = 17*2100 – 911
Nota: Dl Zoltan Szabo da si o interpretare grafica, pentru exemplificare si o mai buna intelegere a partajarii, postam figura de la pasul 4:
Ionel-Vasile Pit-Rada:
Presupun ca la pasul 0 patratul este impartit in 4 patrate A,B,C,D (numerotare tip matrice, sus->jos, stanga->dreapta)
Aleg pentru pasul 1 sa impart patratele C si D in cate 4 patrate si se obtin patratele C1,C2,C3,C4 SI D1,D2,D3,D4
Se observa ca in afara celor 1+4+8 patrate mai avem patratul "surpriza" format de C2,D1,C4,D3, deci 14 patrate dupa pasul 1
Aleg la pasul 2 sa continui cu C3,C4 si D1,D3 (cate 2 patrate din patratele noi obtinute). Conform asezarii grafice cele 4 patrate alese formeaza o matrice cu 2 linii si 2 coloane.
Se obtin patratele C31,C32,C33,C34, C41,C42,C43,C44, D11,D12,D13,D14, D31,D32,D33,D34, adica o matrice 4x4 Aceste 16 patrate noi, sa zicem de latura p, vor produce patrate surpriza, de latura p*2, p*3 :
- cuplez cate 4 patrate invecinate (2x2) si se obtin (4-1)*(4-1)=9 patrate de latura 2*p din care trebuie scazute cele 4 de dimensiune 2*p deja existente, adica C3,C4,D1,D3, deci se obtin 5 patrate noi de dimensiune p*2
- cuplez cate 9 patrate vecine (3x3) si se obtin (4-2)*(4-2)=4 patrate noi de dimensiune 3*p
In total la pasul 2 se obtin inca 16+9=25 patrate noi. Se confirma formula mea 17*2-9=25
Pentru pasul 3 aleg patratele C32, C34,C42,C44,D11,D13,D31,D33 pe care le voi imparti in cate 4 patrate noi. Conform asezarii grafice cele 8 patrate alese formeaza o matrice 4x2. Dupa impartirea in cate 4 se formeaza o matrice 8x4.
Matricea 8x4 va contine:
a) 8*4=32 patrate sa zicem de latura p,
b) (8-1)*(4-1)-8=13 patrate noi de latura 2*p
c) (8-2)*(4-2)=12 patrate noi de latura 3*p
d) (8-3)*(4-3)-3=2 patrate noi de latura 4*p
In total la pasul 3 se mai adauga 59 patrate noi adica 17*4-9=59
La pasul 4 vom pleca de la o matrice de dimensiuni 8x2 si vom obtine o matrice de dimensiuni 16x4 care va aduce urmatoarele noi patrate:
a) 16*4=64 patrate de latura sa zicem p
b) (16-1)*(4-1)-16=29 patrete noi de dimensiune 2*p
c) (16-2)*(4-2)=28 patrate noi de dimensiune 3*p
d) (16-3)*(4-3)-7=6 patrate noi de dimensiune 4*p
In total se mai adauga la pasul 4 inca 64+29+28+6=127 patrate noi si iarasi se confirma formula 17*8-9=127
In general la pasul pas pornim cu o matrice de dimensiuni 2^(pas-1) x 2 si obtinem o matrice de dimensiuni 2^pas x 4
Avem patrate noi dupa cum urmeaza:
a) 2^pas * 4 = 4*2^pas = 8*2^(pas-1) patrate noi de latura sa zicem p
b) (2^pas-1) * (4-1) - 2^pas = 2*2^pas - 3 = 4*2(pas-1) - 3 patrate noi de latura 2*p
c) (2^pas-2) * (4-2) = 2*2^pas - 4 = 4*2^(pas-1) - 4 patrate noi de latura 3*p
d) (2^pas-3) * (4-3) - ( (2^pas-3) * (4-3) +1) / 2 = 2^pas - 3 - 2^(pas-1) + 1 = 2^(pas-1) - 2 patrate noi de latura 4*p
calculand se ajunge la 17*2^(pas-1) - 9
Pentru calculul final am calculat 14+17*(2^1+2^2+...+2^99)-99*9=17*2^100-17*2-891+14=17*2^100-911
Logic
