Soluţii corecte: Nicu Scutaru, Vasile Trofin, Zoltan Szabo, Cristian Balanoiu.
Problema a fost propusa de Ionel-Vasile Pit-Rada, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!
Nicu Scutaru:
Din 33 de garduri gata construite, fiecare avand lungimea de 4 m, trebuie sa luam un număr impar de garduri pentru a construi o latura paralela cu latura curții pătrate, iar cu restul de garduri în număr par construim doua laturi paralele ale curții dreptunghiulare. Aria curtii dreptunghilare tinde spre o valoare maxima cand numarul de garduri de 4 m folosite pentru a construi latura egala cu latura curtii patrate depășește numărul de garduri folosite pentru fiecare dintre cele doua laturi paralele ale curții noi.
Determinam aria maxima a curtii dreptunghiulare prin metoda analitica.
Aria dreptunghiului este o funcție de gradul doi.
A(x)=((33-x)/2)*4*x*4=8x(33-x)
unde x este un număr întreg impar egal cu numărul gardurilor de 4 m folosite pentru a construi latura curții patrate.
Calculam radacina derivatei:
A'(x)=0, 8(33-x) + 8x(-1)=0, x=8*33/16=33/2=16,5.
Cum x este un număr întreg impar rezultă x= 17 (numărul gardurilor de 4 m).
Pentru acest număr de garduri aria curții noi este maxima:
A max =( (33-17)/2)*4*17*4=8" 16*17=2176 m2.
Verificare suplimentara prin calculul valorii ariei in doua puncte vecine cu x=17:
x=15, A=((33-15)/2)*16*15=9*16*15=2160 m2
x=19, A=((33-19)/2*16*19=7*16*19=2128 m2.
Ambele arii sunt mai mici decât aria maxima egala cu 2176 m^2.
Răspuns
Lungimea laturii curții pătrate este 17*4 m = 68 m.
Vasile Trofin:
Nu se mai apelează la proprietatea cunoscută privind raportul ariilor a unui pătrat și a unui dreptunghi cu același perimetru.
Se notează cu x latura a dreptunghiului curții noi care nu este comună cu latura curții pătrate și cu l latura pătratului curții vechi comună și identică cu o latură a dreptunghiului noii curți.
Există relația evidentă 2*x+l= 33*4=132, de unde l=132-2*x.
Aria suprafeței noii curți este A(x)=x*(132-2*x).
Prima derivată a funcției A(x) este A’(x)= 132-4*x care se anulează pentru x=132/4=33 . Funcția A(x) este crescătoare pentru valori ale lui x <33 și descresătoare pentru x >33 deci în punctual de abscisă x=33 are un maxim . Valoarea funcției A(x) în punctual de abscisă x=33 este 2178 m2.
Avându-se în vedere condiția precum gardul este construit din bucăți drepte de lungime 4 m , sunt posibile două variante de realizare luând pentru x valori posibile imediat inferioare/superioare valorii 33.
1) x= 8*4=32 m , l= 132-2*x=17*4=68m . Numărul total de bucăți de gard fiind 2*8+17=33 , deci toate cele 33 de bucăți drepte de gard . Aria suprafeței noii curți este 32*68=2176 m2 <2178m2 iar lungimea laturii curții pătrate este l=68m.
2) x=9*4=36 m , l= 132-2*x=132-72=60 =15*4 m . Deci latura x are 9 bucăți de gard drepte iar latura l a curții pătrate are 15 bucăți , în total se folosesc toate cele 33 de bucăți de gard drepte cu lungimea de 4m fiecare. Aria suprafeței noi curți este 36*60=2160 m2 iar latura curții pătrate este l= 60m.
Avînd în vedere raționamentele de mai sus , rezultă că Dorin a amenajat noua curte cu sprafața maximă posibilă de împrejmuit cu cele 33 de bucăți drepte de gard cu lungimea de 4 m fiecare ,sub forma unui dreptunghi cu latura mică de lungime x=32m și latura mare de lungime l=68m . Latura curții pătrate are lungimea l=68m .
Suprafața maximă a noii curți este 2176 m2 mai mică cu 2m2 decât suprafața maximă teoretică de 2178 m2.
Zoltan Szabo:
Suprafata maxima se obtine cu doua garduri paralele din 2*8 bucati (cate 32 de metri), un gard perpendicular 1*17 bucati (lungime 68 de metri).
Suprafata maxima a curtii noi: 4*8*4*17=2176 mp.
Lungimea laturii curtii patratice este cât 17 bucati de gard de 4 metri, adica 68 de metri.
Un perete si cele 33 de bucati de gard, fiecare de 4 m trebuie sa dea suprafata maxima.
Cazuri posibile
1. doua garduri paralele din 2*11 bucati, un gard perpendicular 1*11 bucati
Suprafata: 4*11*4*11=1936
2. doua garduri paralele din 2*10 bucati, un gard perpendicular 1*13 bucati
Suprafata: 4*10*4*13=2080
3. doua garduri paralele din 2*9 bucati, un gard perpendicular 1*15 bucati
Suprafata: 4*9*4*15=2160
4. doua garduri paralele din 2*8 bucati, un gard perpendicular 1*17 bucati
Suprafata: 4*8*4*17=2176
5. doua garduri paralele din 2*7 bucati, un gard perpendicular 1*19 bucati
Suprafata: 4*7*4*19=2128
6. doua garduri paralele din 2*6 bucati, un gard perpendicular 1*21 bucati
Suprafata: 4*6*4*21=2016
7. doua garduri paralele din 2*5 bucati, un gard perpendicular 1*23 bucati
Suprafata: 4*10*4*13=1840
Se observa ca celelalte cazuri vor furniza suprafata mai mica.
Deci suprafata maxima se obtine cu doua garduri paralele din 2*8 bucati, un gard perpendicular 1*17 bucati
Suprafata: 4*8*4*17=2176
Lungimea laturii curtii patratice este cât 17 bucati de gard de 4 metri, adica 68 de metri.