Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Nicu Scutaru, Vasile Trofin, Viorel Manta,

 

Zoltan Szabo:

Studiind pentru numerele naturale mici pentru care 10ⁿ+1 este multiplu de 101, primele cazuri sunt:

n=2, 10²+1=101=1*101

n=6, 10⁶+1=1000001=9901*101

n=10, 10¹⁰+1=10000000001=99009901*101

n=14, 10¹⁴+1=100000000000001=990099009901*101

Observam, ca valoarea lui n este de forma 4k+2

Cel mai mare numar n de doua cifre vom cauta printre ultimele 4 numere de doua cifre: 99, 98, 97, 96. Dintre acestea 98 este de forma 4k+2, deci solutia problemei noastre este n=98.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Avem 9999=99*101=10000-1, deci 10000 mod 101=1

10^100 mod 101 = 1, deci (10^100+1) mod 101 =2, care nu convine

10^99 mod 101 = 1000 mod 101=91, deci (10^99+1) mod 101 =92, care nu convine

10^98 mod 100 = 100, deci (10^98+1) mod 101 =0, care convine

Solutia este n=98

 

Nicu Scutaru:

10^n + 1=k*101

Pentru n=2 si k=1 egalitatea  este evidenta. 

Membrul doi al relației se mai poate scrie:

k*101=k*100 + k

Pentru k = 9901 este adevarata egalitatea numerica: 

9901*101= 990100+9901=1000001

 Asadar putem scrie: 

10^6 +1= 9901*101,  n=6.

Aceeasi egalitate numerica se poate scrie si asa:

10^6 + 1= (10^4 - 99)*(100 +1)=10^6 - 9900 -99 +10^4 =10^6 +1.   (1)

Pentru n am gasit valorile: 2, 6. 

Scriem rel. (1) pentru n=10

10^10 +1 = (10^8 - 990099)*(100 +1)= 10^10 - 99009900 -990099 + 10^8=10^10 + 1. 

Cautam valoarea maxima a numarului  n,  un numar cu doua cifre.

n=2, 4, 10, 14, …

n=2+4m =2(2m+1), m= 0, 1,2,3,...

Pentru  m =24, n max. = 98 

Raspuns

Valoarea maxima a puterii n este 98, valoare pentru care este adevarata relatia numerica: 10^98 + 1 =(10^96 - 99009900...0099)*101

 

Vasile Trofin:

Se stie ca un binom de forma aⁿ +1 , cu n numar întreg impar se descompune în produsul (a+1)*(a^n-1 – a^n-2 + .... – a+1), unde a este un numar real. Daca în binomul a+1 , a este la o putere k , numar întreg , atunci binomul  aⁿ +1 se divide cu a^k +1 daca n/k este un numar întreg impar . Aceasta proprietate rezulta din substitutia a^k = t È™i aⁿ = (a^k)^n/k = t^n/k, n/k numar întreg impar pe care îl notam cu m . 

Cu acestea , t^m + 1=(t+1)*( t^m-1 –t^m-2 + ... – t+1), unde termenul t^m-1 –t^m-2 + ... – t+1 reprezinta factor de multiplicare pentru t+1.

Revenind la problema, n=10,11,12, ..., 99 ; 101=10² +1 ; a=10 ; k=2 ; t=10^k si m= n/k= 5,7,9,11,13, ... , 49,  puteri ale lui t pentru care t^m +1 se divide cu 10² +1.

Asadar , valoarea maxima a lui n pentru care numarul 10ⁿ +1 este multiplu al numarului 101=10² +1 , este n= 98 pentru care m=49  iar valoarea minima este n=10 pentru care m=5.

 

Viorel Manta:

Observam ca

10²+1=101x1=M101 (multiplu de 101)

10⁶+1=9901x101=M101

10¹⁰+1=99009901x101=M101

deci n e de forma 4k+2 (k=0,1,2....)

daca n are 2 cifre inseamna ca n=4k+2<100

4k<98

deci convine 4k=96

si deci n maxim este 98.