Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Nicu Scutaru.

Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Vom incerca sa cautam un polinom de gradul 3, care va avea o radacina egala cu c si celelalte doua radacini vor fi numere complexe conjugate, 
p(x)=a*(x-c)*(x*x+d*x+e), unde polinomul (x*x+d*x+e) are radacini complexe imaginare conjugate si deci pentru orice x avem (x*x+d*x+e)>0. 

Deoarece p(9)=66 si 9-c<0, rezulta a<0 si -a, -(9-c) si (x*x+d*x+e) sunt divizori pentru 66.

Cu ajutorul unui program am gasit solutia
p(x)=-(x-15)*(x*x-16*x+74) deci p(x)= - x*x*x + 31*x*x - 314*x + 1110
Deci radacina c cautata este 15, b=11 si avem p(9)=66 si p(11)=76 care verifica solutia determinata.

 

Nicu Scutaru:

Fie P(X)= a2*X^2 + a1*X + a0

P(9)=81a2 + 9a1 + a0 = 66

P(b)=b^2a2 + ba1 + a0= 76

P(c)=c^2a2 + ca1 + a0 = 0

Din 

P(b) - P(9)  = (b-9)(b+9)a2 + (b-9)a1=10 rezulta conditia ca  (b-9) sa fie un divizor al numarului 10. (b este numar întreg pozitiv si  b>9).

b-9=2 cu b=11, b-9=5 cu b=14, b-9=10 cu b=19.

Din  P(c) - P(9)= (c-9)(c+9)a2 +(c-9)a1 = -66 rezulta 

c-9=2, c=11 solutie neacceptata deoarece din c-b>1 rezulta b=11.

c-9 = 3, c=12, deasemenea este o solutie neacceptata.

c-9 = 6, c=15, solutie acceptata daca b=11.

c-9=11, c=20, solutie acceptata daca b=11 sau b=14. 

Solutie unica avem pentru b=11 si c=15:

P(9)=81a2 + 9a1 + a0 = 66

P(11)=121a2 + 11a1 + a0= 76

P(15)=225a2 + 15a1 + a0 = 0

Solutiile sistemului sunt valorile coeficientilor intregi ai polinomului P(X).

P(X)= -4X^2 + 85 X - 375.

Verificare:

 P(9)=-4*81 +85*9 - 375= 66.

P(15)=-4*225 +85*15 - 375 =0

Raspuns: P(X)= -4X^2 + 85 X - 375, iar radacina c=15.