Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Vasile Trofin, Viorel Manta,

Problema a fost propusa de Nicu Scutaru, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

 

Vasile Trofin:

Numerele de forma 19, 1199 , 111999, ...., 111...1999...9 , unde cifrele 1 respectiv 9 se repeta de n ori , se pot descompune astfel:

19=1*19=1*(9+10)= 1*(9+2*5);

1199= 11*109=11*(99+10)=11*(99+2*5);

111999 = 111*(1009 +10)=111*(999+2*5);

....................................

111...1999...9 = 111...1*(1000...09) = 111...1*(999...9 +10)=111...1*(999...9+2*5),

unde cifrele 1si 9 se repeta de n ori fiecare iar cifra 0 se repeta de n-1 ori.

Daca aceste numere se multiplica cu 9 se obtine expresia numerica generala

999...9*(999...9 +2*5)= 999...9² + 2*5*999...9 , unde cifra 9 se repeta de n ori.

Un numar este patrat perfect daca se poate desompune în suma la patrat a doi termeni, de forma (a+b)² = a² +2*a*b +b².

În cazul de fata a=999...9 iar b=5 , deci b² = 25.

Asadar , numarul general 9*(111...1999...9) este un patrat perfect daca i se adauga numarul 25, deci

A = 9*N +25 este patrat perfect oricare ar fi numarul N =111...1999...9 cu numarul identic de cifre 1 si 9 .

 

Viorel Manta:

N=1111111...9999999 fiecare grupa avand n elemente

N=1111111.....000000.....+9999999... fiecare grupa de cifre (1, 0 si 9) avand n elemente

N=1111111...x10ⁿ +9x(1111...) cu n elemente de 1 

N=1111111....(10ⁿ +9) cu n elemente de 1

P=9N+25=9x(111111...)x(10ⁿ +9) cu n elemente de 1

Prin inductie se arata ca 

pt n=1 

P(1)=9x1(10+9)+25=196=14²

pt n=2 

P(2)=9x11(10²+9)+25=99x109+25=10916=104²

Analog se arata ca P(3)=1004²

Deducem ca P(n)=100000....4² cu numarul elementelor 0 fiind egal cu (n-1)