Soluţii corecte: Ionel-Vasile Pit-Rada, Zoltan Szabo, Vasile Trofin, Nicu Scutaru.

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Deoarece dreapta nu trece prin niciunul dintre cele 10 puncte rezulta ca ea separa aceste puncte in doua submultimi.

Una din submultimi va avea p puncte iar cealalta va avea 10-p puncte.

Dreapta va taia atunci exact p*(10-p) segmente si anume pe acelea care au un capat printre cele p si celalalt capat printre cele 10-p puncte.

Valoarea maxima se va obtine atunci cand factorii sunt egali, deci pentru p=5.

Numarul maxim de segmente taiate va fi 25.

Zoltan Szabo:

Fiecare segment va fi intersectat in interior. Deci dreapta va separa punctele ce reprezinta extremitatile segmentelor. Avem 10 puncte, daca N puncte se afla intr-o parte a dreptei, atunci (10-N) puncte vor fi pe partea cealalta a dreptei. Vor rezulta N*(10-N) segmente. Expresia are valoare maxima pentur N=5, numarul de segmente intersectate fiind 5*5=25.

Nicu Scutaru:

Plasam cele 10 puncte pe circumferinta unui cerc. Numarul maxim de segmente marginite de oricare doua puncte este 45, numar rezultat din C(10,2)=10*9/2.

O dreapta care nu trece prin niciun punct din cele zece si care trebuie sa intersecteze un numar maxim de segmente din totalul de 45 este dreapta care împarte campul de 10 puncte in doua, de fiecare parte a sa ramânând 5 puncte. Ca atare segmentele care nu vor fi intersectate sunt in numar de C(5,2)+C(5,2)=20. 

Asadar numarul de segmente care vor intersecta dreapta enuntata este dat de relatia: 45-20=25.