Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Stefan Gatachiu.
Zoltan Szabo:
Evoluția scorului are 15 variante distincte:
1. (0-0) (0-1) (0-2) (1-2) (2-2) (3-2) (4-2)
2. (0-0) (0-1) (1-1) (1-2) (2-2) (3-2) (4-2)
3. (0-0) (0-1) (1-1) (2-1) (2-2) (3-2) (4-2)
4. (0-0) (0-1) (1-1) (2-1) (3-1) (3-2) (4-2)
5. (0-0) (0-1) (1-1) (2-1) (3-1) (4-1) (4-2)
6. (0-0) (1-0) (1-1) (1-2) (2-2) (3-2) (4-2)
7. (0-0) (1-0) (1-1) (2-1) (2-2) (3-2) (4-2)
8. (0-0) (1-0) (1-1) (2-1) (2-2) (3-2) (4-2)
9. (0-0) (1-0) (1-1) (2-1) (3-1) (3-2) (4-2)
10. (0-0) (1-0) (1-1) (2-1) (3-1) (3-2) (4-2)
11. (0-0) (1-0) (2-0) (2-1) (3-1) (3-2) (4-2)
12. (0-0) (1-0) (2-0) (2-1) (3-1) (4-1) (4-2)
13. (0-0) (1-0) (2-0) (3-0) (3-1) (3-2) (4-2)
14. (0-0) (1-0) (2-0) (3-0) (3-1) (4-1) (4-2)
15. (0-0) (1-0) (2-0) (3-0) (4-0) (4-1) (4-2)
Modul in care sunt aranjate lexicografic aceste cazuri, permit numararea usoara ale cazurilor de marcare a primelor x goluri de catre echipa favorita.
Astfel pentru primele x goluri marcate avem urmatoarele probabilitati:
x=0 15 cazuri din 15, probablitatea p0=15/15=1
x=1 10 cazuri din 15, probabilitatea p1=10/15=2/3=0,(6)
x=2 6 cazuri din 15, probabilitatea p2=6/15=2/5=0,4
x=3 3 cazuri din 15, probabilitatea p3=3/15=1/5=0,2
Solutia 2:
O rezolvare elegantă se bazează pe formula de combinări. Observăm că orice rezultat m:n se obține din (m-1):n sau m:(n-1). Deci numărul de cazuri de a ajunge la rezultatul m:n este
C(m,n)=C(m-1,n)+C(m,n-1)
Această formulă recursivă are valoarea inițaă C(0,0)=1, C(a,0)=1, C(0,a)=1. (Dacă o singură echipă a marcat toate golurile, atunci scorul va putea evolua într-un singur fel)
Reprezentând într-un tabel de dimensiuni 5*3, ponind de la 0 și ajungând la 4 respectiv 2 (goluri), valorile se prezintă astfel:
|
|
0 |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
1 |
3 |
6 |
|
3 |
1 |
4 |
10 |
|
4 |
1 |
5 |
15 |
În acest tabel fiecare valoare reprezintă o combinare C(m,n)=comb(m+n,m)=comb(m+n,n).
Numărul total de evoluții distincte a scorului C(4,2)=comb(6,2)=6*5/2=15.
Dacă se presupune, că echipa favorită a marcat inițial x goluri, atunci practic vom considera ca șo cum meciul ar incepe de la scorul x:0. Evoluția rezultatului ne va interesa pentru scorul (4-x):2. Aceste valori sunt salvate în tabelul de mai sus pe pozițiile C(4-x,2).
Deci probabilitățile ca echipa favorită să fi înscris primele x goluri, vor avea următoarele valori:
1. x=0: Avem probabilitatea P=C(4,2)/C(4,2)=15/15=1
2. x=1: Avem probabilitatea P=C(3,2)/C(4,2)=10/15=2/3=0,(6)
3. x=2: Avem probabilitatea P=C(2,2)/C(4,2)=6/15=2/5=0,4
4. x=3: Avem probabilitatea P=C(1,2)/C(4,2)=3/15=1/5=0,2
5. x=4: Avem probabilitatea P=C(0,2)/C(4,2)=1/15=0,0(6)
Ionel-Vasile Pit-Rada:
S-au dat 6 goluri. Pe pozitiile 1,2,3,4,5,6 pot fi asezate numele echipelor care au dat acele goluri. Astfel obtinem 15 modalitati in care puteau fi date golurile.
Probabilitatea ca echipa castigatoare sa dea primele 0 goluri este 1.
Daca primul gol este dat de echipa castigatoare inseamna ca echipa care a pierdut poate ocupa doar doua din urmatoarele 5 pozitii, deci avem 10 posibilitati. Probabilitatea ca echipa castigatoare sa dea primul gol este 10/15=2/3
Daca primele doua goluri sunt date de echipa castigatoare inseamna ca echipa care a pierdut poate ocupa doar doua din urmatoarele 4 pozitii, deci avem 6 posibilitati. Probabilitatea ca echipa castigatoare sa dea primul gol este 6/15=2/5
Daca primele trei goluri sunt date de echipa castigatoare inseamna ca echipa care a pierdut poate ocupa doar doua din urmatoarele 3 pozitii, deci avem 3 posibilitati. Probabilitatea ca echipa castigatoare sa dea primul gol este 3/15=1/5
Daca primele patru goluri sunt date de echipa castigatoare inseamna ca echipa care a pierdut poate ocupa doar doua din urmatoarele 2 pozitii, deci avem 1 posibilitate. Probabilitatea ca echipa castigatoare sa dea primul gol este 1/15
Logic
