Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Vasile Trofin.

Problema a fost propusa de Nicu Scutaru, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

 

Zoltan Szabo:

Daca numaram dreptunghiurile dupa pozitia coltului din dreapta sus, atunci vom observa ca pe prima coloana, de inaltime 10, sunt in total 10 dreptunghiuri de inaltime 1, 9 dreptunghiuri de inaltime 2, 8 dreptunghiuri de inaltime 3, ..., 1 dreptunghi de inaltime 10. In total (10+9+8+&+^+5+4+3+2+1)=55

Numarul dreptunghiurilor care se termina in dreapta pe coloana a doua, avem din fiecare inaltime cate doua dreptunghiuri, cel care incepe pe coloana 1 si cel care incepe pe coloana 2. Cu difereitele inaltimi avem 2(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=90 dreptunghiuri

Continuand ideea si numarand toate cazurile obtinem pentru numarul dreptunghiurilor: 

1*(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) + 

2*(9+8+7+6+5+4+3+2+1)+

3*(8+7+6+5+4+3+2+1)+

4*(7+6+5+4+3+2+1)+

5*(6+5+4+3+2+1)+

6*(5+4+3+2+1)+

8*(3+2+1)+

9*(2+1)+

10*(1)=

55+90+108+112+105+90+70+48+27+10=715

Deci numarul drpetunghiurilor-biscuite este egal cu 715.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Daca notam cu f(n) numarul cerut, atunci se observa relatia de recurenta f(n)=f(n-1)+n*(n+1)*(n+2)/6 si astfel prin calcul se gaseste f(10)=715

 

Vasile Trofin:

Prezint o soluție generalizată a problemei SEMI-PĂTRAT BISCUIT . Pentru dimensiunea caroiajului din problemă , numărul maxim de dreptunghiuri/pătrate care pot fi incluse ăn caroiaj este 715. 

Din analiza combinatorie se cunoaște relația de descompunere a combinărilor de n luate câte k , n și k numere naturale , respectiv : C_n^k = SUM_{i=1,2,.., n-k+1} (C_n-i^k-1) , relație care se va folosi în continuare.

Fie o suprafață plană pătrată de latură n care se împarte în pătrățele cu latura unitară corespunzător procedurii din problemă. Cu pătrățelele din figura rezultată se pot forma figuri geometrice ,dreptunghi/pătrat, de dimensiuni (ixk) unde pentru orice valoare i=1,2,3,..., n , k ia valoare 1,2,3,...,n+1-i. Dreptunghiurile astfel formate se vor deplasa prin translație pe orizontală câte o casetă și de sus în jos câte o linie fără să se depășească cadrul figurii .

Sunt posibile următoarele  dreptunghiuri care pot să fie incluse în caroiajul dat ::

1) Pentru i=1 și

k=1 , pătrățel  (1x1) : 1+2+3+4+...+n=n*(n+1)/2=C_n+1² , pătrățele;

k=2 , dreptunghi (1x2) : 1+2+3+4+....+n-1= (n-1)*n/2=C_n² , dreptunghiuri

.............................................................................

k=n-1 , dreptunghi (1x(n-1)): 1+2 = 2*3/2= C₃² , dreptunghiuri

k=n , dreptunghi (1xn) : 1= C₂² , dreptunghiuri

Însumând aceste rezultate , pentru i=1 , rezultă :

C_n+1² +C_n² +...+C₃² +C₂²= C_n+2³ , dreptunghiuri și pătrățele.

2) pentru i=2 și

k=1 , dreptunghi (2x1) : 1+2+3+...+n-1=C_n² , dreptunghiuri ;

k=2 , pătrat (2x2)  :  1+2+3+...+n-2=C_n-1² , pătrate;

.....................................................................

k=n-2 , dreptunghi ( 2x(n-2) : 1+2=C₃² , dreptunghiuri;

k=n-1 , dreptunghi (2x(n-1)) : 1=C₂²  , dreptunghiuri și pătrate.

Însumând aceste rezultate pentru i=2 , se obține :

C_n² +C_n-1² +...+C₃² +C₂²= C_n+1³ dreptunghiuri și pătrate .

.........................................................

..........................................................

n-1) pentru i=n-1 și

k=1 : dreptunghi ((n-1)x1) : 1+2 = C₃² , dreptunghiuri;

k=2 : dreptunghi ((n-1)x2) : 1 = C₂² , dreptunghiuri.

Însumând aceste rezultate pentru i=n-1, se obține :

C₃² + C₂² = C₄³ dreptunghiuri.

n) pentru i=n și

k=1 : dreptunghi (nx1) : 1 = C₂² dreptunghiuri.

Dar C₂² = C₃³ .

Însumând rezultatele 1) , 2), ... , n-1), n) se obține :

C_n+2³ + C_n+1³+ C₄³ + C₃³ = C_n+3⁴ care reprezintă numărul maxim de pătrate și dreptunghiuri care pot să fie incluse in figura nxn construită după procedura din problemă.

 

Pentru n=10 , C₁₃⁴ = 13!/(4!*9!)=10*11*12*13/(1*2*3*4)= 5*11*13=715 , număr care reprezintă numărul maxim al dreptunghiurilor/pătratelor incluse în caroiajul dat .