SoluĊ£ii corecte: Zoltan Szabo, Nicu Scutaru, Viorel Manta, Ionel-Vasile Pit-Rada.

Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

 

Zoltan Szabo:

Prima linie a matricei se poate colora in 4!=24 moduri diferite.

Primul element de pe prima linie va defini culoarea diagonalei principale, ultima linie va defini culoarea diagomnalei secundare. 

Astfel pe coloanele 2 si 3 avem deja 3 din 4 culori definite, deci ultima linie se defineste in mod unic, pentru fiecare mod de colorare.

Ne mai raman cate doua celule de pe prima coloana si ultima coloana. Prima coloana se poate colora in doua moduri, iar culorile de pe ultima coloana vor fi unic determinate.

Deci avem in total 2*24=48 de colorari distincte.

 

Nicu Scutaru:

Cu 16 cartonase colorate in patru culori: C1, C2, C3, C4,  construim o matrice-model,  dispunerea cartonaselor respecta conditiile problemei: 

C1 C2 C3 C4

C2 C1 C4 C3

C3 C4 C1 C2

C4 C3 C2 C1

Plecand de la acest  tipar calculam numarul maxim de matrice ce pot fi formate cu 16 cartonase colorate. 

 O matricea are doua diagonale din cartonase  monocolore distincte (C1, C4). Deoarece ele pot avea  una din cele 4 culori: rosu, galben, verde si albastru,  numarul matricelor  este dat de:  A(4,2)=4*3=12.  

Pentru fiecare dintre acestea 12 matrice, alte doua culori din cele 4 se repartizeaza cartonaselor (C2, C3), care prin dispunerea lor:  doua în mijlocul liniilor 1 si 4 si  doua în mijlocul coloanelor 1 si 3 genereaza alte 4 matrice:

C1 C2 C3 C4

C2 C1 C4 C3

C3 C4 C1 C2

C4 C3 C2 C1

***

C1 C3 C2 C4

C2 C1 C4 C3

C3 C4 C1 C2

C4 C2 C3 C1

***

C1 C2 C3 C4

C3 C1 C4 C2

C2 C4 C1 C3

C4 C3 C2 C1

***

C1 C3 C2 C4

C3 C1 C4 C2

C2 C4 C1 C3

C4 C2 C3 C1

In concluzie numarul maxim de matrice distincte ce pot fi formate  este:  12*4=48.

 

Viorel Manta:

Problema se poate interpreta ca un joc sudoku (de dimensiuni 4x4), in care trebuie pastrate intacte diagonalele, care vor avea cate o aceesi cifra (de la 1 la 4).

Sunt 4 combinatii pentru fiecare pereche de cifre (respectiv (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3) care constituie diagonala, respectiv prima cifra e pentru prima diagonala, iar a doua pentru cealalta diagonala.

ex pt perechea (1,2)

1

3

4

2

 

1

3

4

2

3

1

2

4

 

4

1

2

3

4

2

1

3

 

3

2

1

4

2

4

3

1

 

2

4

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

3

2

 

1

4

3

2

3

1

2

4

 

4

1

2

3

4

2

1

3

 

3

2

1

4

2

3

4

1

 

2

3

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Daca asociem cifrelor culori (o culoare este asociata unei singure cifre), avem problema noastra,

In total sunt 

12 perechi x 4 posibilitati = 48 cazuri.de matrice colorate care respecta ipoteza.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Pozitia (1,1) poate fi completata in 4 moduri si apoi pozitiile (2,2),(3,3),(4,4) la fel ca (1,1)

Pozitia (1,4) poate fi completata in 3 moduri si apoi pozitiile (2,3),(3,2),(4,1) la fel ca (1,4)

Pozitia (1,2) poate fi completata in 2 moduri si apoi pozitia (4,3) la fel ca (1,2)

Pozitia (2,1) poate fi completata in 2 moduri si apoi pozitia (3,4) la fel ca (2,1)

Celelalte pozitii se completeaza in mod unic.

Avem deci in total 4*3*2*2=48 de posibiltati.