Soluţii corecte: Vasile Trofin, Ionel-Vasile Pit-Rada, Nicu Scutaru.

Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

 

Vasile Trofin:

Propoziții ajutătoare :

1) unghiul unui poligon convex regulat cu n laturi este dat de relația : α_n= (n-2)*180/n .

2) unghiul stelei unui poligon concav regulat ( stelat) cu n laturi este dat de relața :

β_n,p = 180⁰ –p*360⁰/n , unde p este numărul de puncte de diviziune al numărului de vârfuri corespunzătoare poligonului convex regulat cu n laturi din care provine, p < n/2 și este prim cu numrul n .

3) unghiul format  între laturile a două stele a unui poligon concav regulat cu n laturi care se intersectează într-un singur punct , γ_n,p = 180⁰ - α_n + β_n,p . 

Dacă un punct A este vârful comun a mai multor poligoane convexe regulate diferite  astfel ca suma unghiurilor acestora să fie 360⁰ , numărul , N , a acestor poligoane nu poate să fie mai mare de  3 fiindcă dacă se iau poligoanele cu α₃=60⁰ , α₄= 90⁰ și α₅= 108⁰ , suma lor este 258⁰ . Pentru a realiza suma de 360⁰ ar trebui un poligon convex regulat cu unghiul poligonului de 102⁰. Nu există un asemenea poligon , conform propoziției 1).

Deci , pentru poligoane concave cu vârful comun și laturi comune , două câte două, sunt posibile numai  3 poligoane organizate în 6 triplete , respectiv (3,7,42) ,(3,8,24) , (3,9,18) , (3,10,15) , (4,5,20 ) și (4 ,6,12)   unde în paranteze sunt numă laturile poligoanelor convexe regulate a căror unghiuri însumate dau 360⁰. În afara acestor triplete există și  alte triplete de poligoane  convexe regulate diferite care au suma unghiurilor mai mică de 360⁰.

Dacă în același punct A se asociază mai multe poligoane concave regulate diferite (stelate) cu n laturi  , acestea se obțin tot din poligoane convexe regulate cu numărul n de laturi prin diviziunea numărului de vârfuri. Dacă numărul de poligoane convexe este de cel mult 3 atunci și numărul de poligoane concave regulate ( stelate) este tot maxim 3.  

Faptul că cel mult trei poligoane convexe regulate se pot asocia unui vârf comun iar suma unghiurilor acestora este mai mică de 360⁰ , diferența se poate completa cu poligoane concave regulate (stelate).

Dacă nu se impun restricții privind mărimea laturilor poligoanelor regulate  alăturate , atunci numărul maxim de poligoane regulate asociate în vârful A este N= 6 și este dat de succesiunea poligon stelat-poligon convex-poligon stelat- poligon convex-poligon stelat- poligon convex.

Exemplu : poligon concav regulat cu 5 laturi și  β_5,2 = 36⁰ , poligon convex regulat  cu 4 laturi  și  α₄ = 90⁰ , poligon concav regulat cu 20 laturi și β_20,7 =54⁰ , poligon regulat convex cu 3 laturi și α₃ =60⁰ , poligon concav regulat cu 15 laturi și β_15,7 = 12⁰ , poligon convex cu 5 laturi și α₅ = 108 ⁰ . Se verifică că suma acestor unghiuri este 360⁰.

Pentru a se construi aceste poligoane regulate cu vârful comun A , se aleg mărimea laturilor poligoanelor vecine astfel încât să nu există suprapuneri ale acestor poligoane.

Așadar , numărul maxim de poligoane care au un vărf comun și două câte două au câte o latură comună pe o aceeași dreptă , este N=6 .

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Se observa ca nu pot fi asezate doua poligoane stelate consecutiv.

Poligoanele trebuie asezate alternat: poligon nestelat apoi poligon stelat, apoi se repeta.

O solutie este urmatoarea:

- poligon regulat cu 8 varfuri - 135 grade

- poligon regulat stelat cu 8 varfuri - 45 grade

- poligon regulat cu 5 varfuri - 108 grade

- poligon regulat stelat cu 15 varfuri - 12 grade

- poligon regulat cu 3 varfuri - 60 grade

- poligon regulat stelat cu 6 varfuri - 60 grade

Suma gradelor 135+45+108+12+60+60=360

Bineinteles dimensiunile laturilor poligoanelor se aleg convenabil pentru a nu suprapune poligoanele.

 

Nicu Scutaru:

Pentru a gasi numarul maxim de poligoane diferite ca forma care sa aiba un punct comun trebuie sa luam in calcul poligoanele regulate convexe cu un numar mic de laturi:

( P3, 60), (P4, 90), (P5,108), (P6, 120) si poligoane regulate concave (stelate): (PS5,72), (PS8,45), (PS9,20), (PS12,30), (PS18,20), (PS36,10).

Prin incercari repetate am gasit ca maximum este dat de 6 poligoane regulate cu laturi de dimensiuni diferite care îndeplineasc conditia de a avea un punct comun. Una dintre solutiile gasite este data de  3 poligoane regulate convexe cu 3, 4 si 5 laturi si unghiurile corespunzatoare: 60, 90 respectiv 108 grade, si 3 poligoane regulate concave (stelate) cu 10, 18 si 36 laturi si unghiurile corespunzatoare: 72, 20 respectiv 10 grade.

Pentru aceste poligoane suma unghiurilor in punctul comun este 360 grade. 

60 + 90 + 108 + 72+20+10=360. 

Raspuns: 6 este numarul maxim de poligoane regulate care au un punct comun, in jurul punctului nu sunt spatii libere.