Soluţii corecte: George Teseleanu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Zoltan Szabo, Vasile Trofin, Nicu Scutaru, Stefan Gatachiu.

 

George Teseleanu:

Unghiul unui poligon regulat este Pi*(n-2)/n, unde n > 2 este numarul de laturi.

Fie n1, n2, n3 unghiurile poligoanelor. Atunci obtinem relatia

1/n1 + 1/n2 + 1/n3 = 1/2 (*)

Presupunem fara a restrange generalitate n1 < n2 < n3.

Daca 5 < n1, n2, n3 obtinem 73/168 > 1/2. Deci, obtinem n1 < 6.

A) n1 = 3

(*) -> 6(n2 + n3) = n2n3 -> (n2 - 6)(n3 - 6) = 36 ->
-> n2 - 6 =  1,  2,  3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 -> n2 =  7,  8,  9, 10, 12, 15, 18, 24, 42
-> n3 - 6 = 36, 18, 12, 9, 6, 4,  3,  2,  1 -> n3 = 42, 24, 18, 15, 12, 10,  9,  8,  7

Avand in vedere ca n2 < n3 rezulta ca singurele solutii sunt (7, 42), (8, 24), (9, 18), (10, 15).

B) n1 = 4

(*) -> 4(n2 + n3) = n2n3 -> (n2 - 4)(n3 - 4) = 16 ->
-> n2 - 4 =  1, 2, 4, 8, 16 -> n2 =  5,  6, 8, 12, 20
-> n3 - 4 = 16, 8, 4, 2,  1 -> n3 = 20, 12, 8,  6,  5

Avand in vedere ca n2 < n3 rezulta ca singurele solutii sunt (5, 20), (6, 12).

C) n1 = 5. Daca n2 > 6 obtinem 131/280 > 1/2. Deci, obtinem n2 = 6. Rezulta ca 1/n3 = 2/15 (i.e. n3 = 15/2). Contradictie.

Rezulta ca numarul total de solutii este 6.

 

Nicu Scutaru:

Conditia problemei, aceea ca 3 poligoane regulate cu laturile: n1, n2, n3 sa aiba un vârf comun, fara spatii libere, este reprezentata prin egalitatea:

180(n1-2)/n1  +  180(n2-2)/n2 +  180(n3-2)/n2 =  360 (grade)

Dupa efectuarea calculelor, relatia devine:

1/n1 +  1/n2  +  1/n3   = 1/2      (1)

n1, n2, n3 numere întregi diferite intre ele n1<n2<n3. n1=(3;4)

Urmatoarele triplete  verifica relatia (1):

(3, 7, 42); (3, 8, 24); (3, 9, 18); (3, 10, 15); (4, 5, 20); (4, 6, 12).

Iar  valorilor unghiulare corespondente sunt:

(60,900/7, 1200/7); (60, 135, 165); (60, 140, 160); (60; 144; 156); (90, 108, 162); (90, 120, 150).

Problema are 6 solutii, fiecare solutie contine numarul de laturi ale celor 3 poligoane regulate cu toate laturile egale cu 1 care au un vârf comun,  fara spatii libere sau suprapuneri. 

 

Zoltan Szabo:

Am gasit 6 solutii de poligoane regulate ale caror suma de unghiuri au 360 de grade:

1.       Poligoane(3,7, 42), Unghiuri(60,900/7, 1200/7)

2.       Poligoane(3,8,24), Unghiuri(60,135,165)

3.       Poligoane(3,9,18), Unghiuri(60,140,160)

4.       Poligoane(3,10,15), Unghiuri(60,144,156)

5.       Poligoane(4,5,20), Unghiuri(90,108,162)

6.       Poligoane(4,6,12), Unghiuri(90,120,150)

Atașez câte imagini generate pe code.org cu aplicația frozen.