Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

SoluĊ£ii corecte: George Teseleanu, Vasile Trofin, Nicu Scutaru, Ionel-Vasile Pit-Rada, Viorel Manta, Stefan Gatachiu, Emil Claudiu Man.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

452=2025=x12+...+xk2+2021-k => 4+k=x12+...+xk2 => nu avem solutie cu diagonala 45

Avem insa solutie cu diagonala 46 !

2116=462=2019+16+81

Deci dreptunghiul cu 2019 muchii de lungime 1, 1 muchie de lungime 2 si inca 1 muchie de lungime 9 are diagonala egala cu 46. Astfel 46 este cea mai mica lungime cu proprietatea ceruta.

 

Viorel Manta:

Conform ipotezei

d= a1 + a22 + a32 + … + an2 cu n = 2021

Observam ca 2012 = 43x47

Trebuie gasit un numar patrat > 2021 care sa poata fi descompus in suma a 2021 numere patrate.

2025 e primul de astfel de numar (45x45).

Nu am gasit o descompunere a 2021 nr patrate a caror suma sa dea 2025

Urmatorul numar ar fi 2116 (462)

Avem descompunerea 2016+100 = 2116

Deci puteam avea primele  2016 numere a1.. a2016 egale cu 1

Restul de 5 (de la a2017 pana la a2021) trebuie sa aiba suma patratelor lor egala cu 100.

Exista o descompunere a lui 100 intr-o suma de cinci numere la patrat si anume

42+42+42+42+62=100

Deci diagonala minima a unui dreptunghi 2021-dimensional este de 46 si are muchiile in punctele

(1, 1, 1, 1, ………………,4, 4, 4, 4, 6)

1 e de 2016 ori

 

Emil Claudiu Man:

Primul patrat perfect apropiat de 2021 este 45*45=2025

Observam ca pentru acest patrat nu putem ajunge la o solutie, deoarece:

  1. 1 la patrat de 2020 de ori + (1 termen)=2025, imposibil deoarece acel termen trebuie sa fie 5, iar 5 nu este patrat perfect
  2. 1 la patrat de 2019 de ori + 2 termeni =2025, imposibil nu avem cum sa obtinem 6 din 2 patrate perfecte (un termen este cel putin 1, deci ar trebui sa avem celalalt termen 5)
  3. 1 la patrat de 2018 de ori + 3 termeni =2025, imposibil nu avem cum sa obtinem 7 din 3 parate perfecte(suma a 2 termeni este minin 2, deci ar trebui sa avem celalalt termen 5)
  4. La fel se aplica si pentru ceilalti termini, deci nu avem solutie pentru d=45.

Luam d=46, d la patrat=2116

2116=4*4+9*9+2019*(1*1), deci lungimea minima a diagonalei este de 46.