Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!
SoluĊ£ii corecte: George Teseleanu, Vasile Trofin, Nicu Scutaru, Ionel-Vasile Pit-Rada, Viorel Manta, Stefan Gatachiu, Emil Claudiu Man.
Ionel-Vasile Pit-Rada:
452=2025=x12+...+xk2+2021-k => 4+k=x12+...+xk2 => nu avem solutie cu diagonala 45
Avem insa solutie cu diagonala 46 !
2116=462=2019+16+81
Deci dreptunghiul cu 2019 muchii de lungime 1, 1 muchie de lungime 2 si inca 1 muchie de lungime 9 are diagonala egala cu 46. Astfel 46 este cea mai mica lungime cu proprietatea ceruta.
Viorel Manta:
Conform ipotezei
d2 = a12 + a22 + a32 + … + an2 cu n = 2021
Observam ca 2012 = 43x47
Trebuie gasit un numar patrat > 2021 care sa poata fi descompus in suma a 2021 numere patrate.
2025 e primul de astfel de numar (45x45).
Nu am gasit o descompunere a 2021 nr patrate a caror suma sa dea 2025
Urmatorul numar ar fi 2116 (462)
Avem descompunerea 2016+100 = 2116
Deci puteam avea primele 2016 numere a1.. a2016 egale cu 1
Restul de 5 (de la a2017 pana la a2021) trebuie sa aiba suma patratelor lor egala cu 100.
Exista o descompunere a lui 100 intr-o suma de cinci numere la patrat si anume
42+42+42+42+62=100
Deci diagonala minima a unui dreptunghi 2021-dimensional este de 46 si are muchiile in punctele
(1, 1, 1, 1, ………………,4, 4, 4, 4, 6)
1 e de 2016 ori
Emil Claudiu Man:
Primul patrat perfect apropiat de 2021 este 45*45=2025
Observam ca pentru acest patrat nu putem ajunge la o solutie, deoarece:
Luam d=46, d la patrat=2116
2116=4*4+9*9+2019*(1*1), deci lungimea minima a diagonalei este de 46.