Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Nicu Scutaru, Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Viorel Manta.

 

Nicu Scutaru:

Bila Neagra-2, bila Alba-7, bila Galbena-1, bila Rosie-8, bila Verde-9.

Justificare

Condiția 2) este îndeplinită de numerele impare (1, 7, 9) și numerele pare (2 și 8).

9+7+1=17-7=10=8+2

Cele 5 numere de mai sus îndeplinesc și condiția 3) astfel grupate: (9,1,8) și (7,2). Într-adevăr  1+8+9=2*(7+2)

Condiția 4) este îndeplinită numai de numerele 2 și 8. Divizorul lui 8 este 2, adică bila Neagra are numărul 2, iar bila Roșie are numărul 8.

Condiția 5) este îndeplinită de numerele 9 și 1 fiindcă 9-1>=8  și relația  Verde-Galben=Rosu. Singurul număr rămas este 7 pe care îl atribuim singurei bile ramasa, bila de culoare Alba.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

N,A,G,R,V,AUX
1) xN,xA,xG,xR,xV sunt valorile numeric ale bilelor extrase
2) |suma_pare - suma_impare|=7
3) xR+xG+xV=2*(xA+xN)
4) 1 < xN < xR si xR % xN == 0, unde % inseamna restul impartirii
5) xV-xG>=xR
xN=?, xA=?, xG=?, xR=?, xV=?
Din 3) si 5) avem xV>=xG+xR =>2*xV>=xR+xG+xV=2*(xA+xN) => xV>=xA+xN
Deci xN < xR < xV
Trebuie sa avem numar impar de valori impare
Nu putem avea doar un numar impar si nici cinci numere impare
Deci avem 3 numere impare.

Solutia unica este: xN=2, xA=7, xG=1, xR=8, xV=9

 

Viorel Manta:

Se extrag 5 bile. Cf 2) modulul diferentei intre suma bilelor cu numere pare si a celor cu numere impare este 7. Sunt posibile configuratii cu 3 bile pare extrase si 2 impare dar niciuna nu respecta conditia ca diferenta sa fie 7, adica un numar impar.

Obligatoriu vom cauta solutii cu 3 bile cu numere impare pe ele si 2 cu numere pare. 

Numerele pare sunt din multimea {2,4,6,8} iar cele impare din {1,3,5,7,9).  

Conditia 2) se scrie 7=!suma bile impare-suma bile pare!

Conditia 3) se scrie (notand cu a,r,v,g.si n culorile bilelor) r+v+g=2(a+n) deci r+v+g e un numar par.

Conditia 4) se scie r=kn unde k e un numar natural care inmultit cu n da r.

Conditia 5) se scrie v-g>= r (mai mare sau egal cu r).

Sunt o multime de triplete asociate unor dublete care sa respecte conditia 1) (ex (2,6) asociat cu (1,5,9); (2,8) asociat cu (3,5,9) samd

Trebuie insa sa se indeplineasca si conditia 4 (cu n diferi de 1) si de asemenea condita 5.

Analizand astfel de dublete asociate unor triplete gasim  combinatia (8,2) asociata cu (1,7,9) satisface toate cele 5 conditii astfel 

c2)  (7+1+9)-(2+8)=7

c4) r=4n in cazul cand r=8 si n=2 (caz in care k=4)

c5) v-g>=r conduce la v=9 si g=1 (deci 9-1=8=r)

Atunci a=7si c(3 devine 8+1+9=2(2+7) adica 18=18 care e adevarata

Deci solutia este bila  alba are pe ea cifra 7, bila neagra cifra 2, verde cifra 9, rosie cifra 8 si galbena cifra 1.