Soluții corecte: Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Jean Henry Berevoescu (cu mentiunea ca am primit si alte solutii foarte apropiate de solutia completa).
Zoltan Szabo:
Folosim următoarele notații
NCSD=Numărul Cartonașelor cu brațe Stânga-Dreapta
NC90=Numărul Cartonașelor cu brațe la 90 de grade
Observăm, că NC90 trebuie să fie minim 4. Se observă de asemenea, că numărul acesta întotdeauna este număr par.
Încercăm să construim horele cele mai mici cu NCSD minimizat folosind din C90 cele mai mici numere pare, apoi vom încerca să generalizăm.
Având o horă corectă, folosind un sistem de opt cartonașe C90 putem crea o horă nouă. Sistemul celor 8 CSD poate fi inserat într-o horă mai mică desfăcând două legături verticale și inserând între acestea:
Acest sistem poate fi rotit cu 90 de grade și se poate cupla la două legături orizontale.
Astfel din primele 4 (4,6,8,10 C90) hore obținem următoarele 4 (12,14, 16, 18 C90) (din hora a 3-a putem reduce cele două CSD):
Astfel obținem următoarele formule.
|
C90 |
CSD |
Observații pentru cazul NCSD minimizat |
|
8k+4 |
0 |
k număr natural, |
|
8k+6 |
1 orizontal 1 vertical |
k număr natural, conține un CSD orizontal și unul vertical |
|
8k+8 |
0 dacă k>0 2 de același fel (H sau V) dacă k=0 |
k număr natural, |
|
8k+10 |
1 orizontal 1 vertical |
k număr natural, conține un CSD orizontal și unul vertical |
La aceste soluții putem adăuga câte două CSD orizontale sau verticale.
Această inserare se poate realiza în mod repetat, astfel obținem orice configurație:
|
C90 |
CSD |
Observații |
|
8k+4 |
2p orizontale 2q verticale |
k,p,q numere naturale, |
|
8k+6 |
2p+1 orizontale 2q+1 verticale |
k,p,q numere naturale |
|
8k+8 |
2p orizontale 2q verticale |
k,p,q numere naturale, dintre p și q cel puțin unul este nenul. |
|
8k+10 |
2p+1 orizontale 2q+1 verticale |
k,p,q numere naturale |
După simplificare obținem o configurație ce reprezintă soluția finală:
|
C90 |
CSD |
Observații |
|
4k |
2p orizontale 2q verticale |
k – număr natural nenul p,q - numere naturale , Pentru cazul C90=8, cel puțin una dintre valorile p sau q trebuie să fie diferite de 0 |
|
4k+2 |
2p+1 orizontale 2q+1 verticale |
k,p,q numere |
Logic
