Soluții corecte: Zoltan Szabo (inclusiv bonus), Viorel Manta, Vasile Trofin, Angela Sandu (doar bonus),  Nicu Scutaru (inclusiv bonus), Aurel Ionescu (inclusiv bonus), Jean Henry Berevoescu (inclusiv bonus).

 

Zoltan Szabo:

Vom arăta, că mulțimea S este egală cu mulțimea „tuturor divizorilor întregi ai lui 2020” și numărul 0.

Altfel spus S={0,±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±101, ±202, ±404, ±505, ±1010, ±2020}

Faptul că S are mai multe elemente, iar noi, cunoscând câteva elemente x, y, z, și urmează să le depistăm pe celelalte, vom nota astfel S={x, y, z, ...}.

Faptul că atât x cât și –x aparține mulțimii S, vom nota cu S={±x, ...}

Inițial avem numerele 0 și 2020. Deci 0,2020 ϵ S. Adică S={0, 2020, ...}

În continuare ne vom referi la funcții polinomiale f(x).

a. Numărul 0, ca și coeficient anulează orice termen x^k, deci deocamdată singura funcție disponibilă este

f(x)=2020x+2020, care are rădăcina a ecuației f(x)=0 pe x= –1, deci S={–1,0,2020,...}

b. Funcția f(x)= – x²⁰²⁰ – x²⁰¹⁹ – ... – x² – x + 2020 admite ca rădăcină x=1, deci S={0, ±1, 2020,...}

c. Funcția f(x) = x + 2020 admite ca rădăcină pe x= – 2020, deci S={0, ±1, ±2020,...}

d. În continuare vom demonstra că dacă R aparține lui S, S={0, ±1, R,...}, atunci și –R aparține lui S.

Funcția f(x)= x + R admite rădăcina x= –R, deci S={0, ±1, ±R,...}

e. Valoarea lui 2020 în baza 2 este 11111100100₂. Adică 2020=2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁵+2² sau 2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁵+2²-2020=0

Deci funcția f(x)= x¹⁰+x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x²-2020 admite ca rădăcină x=2, deci S={0, ±1, ±2, ±2020,...}

Am demonstrat că 2 ϵ S, avem răspuns la prima întrebare.

f. Valoarea lui 2020 în baza 4 este 133210₄. Adică  4⁵ + 3*4⁴ + 3*4³ + 2*4² + 4 – 2020 = 0

Coeficientul 3 nu aparține lui S, (cel puțin încă nu s-a demonstrat) dar putem  opera asupra expresiei, astfel încât să conțină coeficienți existenți în S.

4⁵ + 3*4⁴ + 3*4³ + 2*4² + 4 – 2020 = 4⁵ + (4-1)*4⁴ + (4-1)*4³ + 2*4² + 4 – 2020 =

= 4⁵ + 4⁵-1*4⁴ + 4⁴-1*4³ + 2*4² + 4 – 2020 = 2*4⁵ - 4³ + 2*4² + 4 – 2020=0

Funcția f(x)= 2*x⁵ - x³ + 2*x² + x – 2020 admite rădăcina x=4, deci S={0, ±1, ±2, ±4, ±2020,...}

g. Valoarea lui 2020 în baza 5 este 31040₅. Adică 3*5⁴+5³+4*5 – 2020 =0 dacă schimbă coeficientul 3 cu (5-2), vom obține (5-2)*5⁴+5³+4*5 – 2020 = 5⁵ – 2*5⁴ + 5³ + 4*5 – 2020 =0.

Funcția f(x)= x⁵ – 2*x⁴ + x³ + 4*x – 2020 are rădăcina x=5, deci S={0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±2020,...}

h. Funcția f(x)=2x³+2x- 2020 admite rădăcina x=10, deci S= {0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±2020,...}

i. Funcția f(x)=5x²+x- 2020 admite rădăcina x=20, deci S= {0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±2020,...}

j. Funcțiile următoare admit ceilalți divizori ale lui 2020:

        f(x)=20x-2020, rădăcina x=101, deci S= {0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±101, ±2020,...}

        f(x)=10x-2020, rădăcina x=202, deci S= {0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±101, ±202, ±2020,...}

        f(x)=5x-2020, rădăcina x=404, deci S= {0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±101, ±202, ±404, ±2020,...}

        f(x)=4x-2020, rădăcina x=505, deci S= {0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±101, ±202, ±404, ±505, ±2020,...}

        f(x)=2x-2020, rădăcina x=1010, deci

S= {0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±101, ±202, ±404, ±505, ±1010, ±2020,...}

În continuare vom încerca să demonstrăm că S nu are alte elemente în afară de divizorii întregi ale lui 2020.

Fie funcția polinomială f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+ ... + a_n-1x + a_n cu toți coeficienții numere întregi.  

Se poate demonstra (o consecință a relațiilor lui Viéte: a_n=x₁x₂...x_n), că dacă funcția polinomială are o rădăcină întreagă, atunci această rădăcină este divizor al termenului liber a_n.

Deci noi am reușit să demonstrăm apartenența elementelor de mai sus în mulțimea S. Pentru termen liber orice element am alege, rădăcină întreagă poate fi doar un divizor al acelui număr. Întrucât am demonstrat că în afara de 0, toți divizorii lui 2020 fac parte din mulțime, iar pentru termen liber nu avem alte elemente, orice funcție f(x) am alege, divizorii termenului liber vor fi exclusiv din această mulțime.

În consecință am determinat toate elementele mulțimii S, și pentru cu 3 nu este divizor al lui 2020, numărul 3 nu face parte din această mulțime.

Mulțimea S conține următoarele 25 de elemente:

S= {0, ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±101, ±202, ±404, ±505, ±1010, ±2020}

 

Jean Henry Berevoescu:

Polinomul general:

P(x) = a₀xⁿ ₊ a₁x^n-1 ₊ a₂x^n-2 _{+ … +} a_n-2x² + a_n-1x¹ + a_nx⁰

Cautam solutii pentru ecuatia: P(x) = 0

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n-2x² + a_n-1x¹ + a_nx⁰ = 0

2020x + 2020 = 0, unde P(-1) = 0 => x = -1 => S = {-1, 0, 2020}

-x²⁰²⁰ – x^2020-1 – x^2020-2 - … - x + 2020 = 0, unde P(1) = 0 => x = 1 => S = {-1, 0, 1, 2020}

x + 2020 = 0, unde P(-2020) = 0 => x = -2020 => S = {-2020, -1, 0, 1, 2020}

x¹¹ – x⁵ + x² - 2020 = 0, unde P(2) = 0 => x = 2 > S = {-2020, -1, 0, 1, 2, 2020}

Deci 2 este in S.

Acum sa analizam ce se intimpla cu 3.

Din P(x) = x + 2, generam “-2”: x + 2 = 0 => x = -2 este solutie, pe care o adaugam setului S

Deci S = {-2020, -2, -1, 0, 1, 2, 2020}

Pornim de la polinomul general:

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n-2x² + a_n-1x¹ + a_nx⁰

P(3) = a₀3ⁿ + a₁3^n-1 + a₂3^n-2 + … + a_n-23² + a_n-13¹ + a_n3⁰

P(3) = a₀3ⁿ + a₁3^n-1 + a₂3^n-2 + … + a_n-63⁶ + a_n-53⁵ + a_n-43⁴ + a_n-33³ + a_n-23² + a_n-13¹ + a_n3⁰

P(3) = a₀3ⁿ + a₁3^n-1 + a₂3^n-2 + … + a_n-86561 + a_n-72187 + a_n-6729 + a_n-5243 + a_n-481 + a_n-327 + a_n-29 + a_n-13 + a_n

Factorizind 2020, obtinem: 2020 = 2² × 5 × 101

Orice polinom poate avea termenul liber (x⁰) din setul S. Niciun numar din S nu poate avea pe 3 ca factor. Dar portinuea cu termeni la puteri mai mari decit zero va fi totdeauna divizibila cu 3, pentru x = 3. Deci 3 nu poate fi generat ca a fi parte din S.