Soluţii corecte: Vasile Trofin, Nicu Scutaru, Angela Sandu.
Problema a fost propusa de Aurel Ionescu, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!
Angela Sandu:
4^49+4^49+2*4^49=4^50
a=2^49
b=4^7
c=2^11
d=4^5
Vasile Trofin:
Forma de prezentare a ecuației conduce la ideea că poate fi adusă la o forma diofantică fiindcă termenul c9 și termenul d10 indică că poate să fie obținut din c9 printr-o operație aritmetică , dacă ecuația inițială a2 +b7 + c9 = d10 o aducem la forma xk-2 +yk-1 = zk , unde x,y,z ,k -2 , k-1 , k sunt numere naturale >0 . Trebuie ca a2 + b7=(lm)2 +(ni)7 =( pq)9 iar c9=(rt)9 și d10 = (uv )10 , toate numerele fiind naturale, >0. Pentru numerele l , n , r și u alegem valoarea comună 2 , valoare numită bază și voi demonstra ulterior că este unica valoare admisă pentru această ecuație.
Expresiile devin :
a2 +b7 = 22m +27i ; c9 = 29t iar d10 = 210v.
Ca să existe 22m +27i = 29t iar 2*29t = 29t+1 = 210v trebuie ca 9t+1=10v care are loc dacă t=11 și v=10. Deci c9 = 299 . Se deduce k=100 , k-1=99 și k-2=98, deci
2m=7i =98 cu soluțiile m=49 și i =14. Pentru t valoarea este t=11 iar pentru v valoarea este v=10.
Așadar ,
a=249 , b=214 , c=211 și d=210 care reprezintă soluția ecuației .
a2 + b7 +c9 = 298 + 298 + 299 = 2*298 + 299 = 299 + 299 = 2*299 = 2100 =( 210 )10 = d10.
(rezolvitorul da si o generalizare si alte cateva observatii interesante)
Nicu Scutaru:
Plecam de la o relatie cu o suma de 3 termeni cu puteri cu baza 2, in care exponentii nu sunt toti egali:
21 +21 + 22 = 23
22 +22 + 23 = 24
…
2r-2 +2r-2 + 2r-1 = 2r (2)
Pentru r=10k rel. (2) devine:
210k-2 +210k-2 + 210k-1 = 210k (3)
22m +27n + 29p = 210k (4)
Din (3) si (4) rezulta conditiile:
10k-2 = 2m (5), 10k -2 = 7n (6), 10k-1 = 9p (7)
Rel. (5) este adevarata pentru orice k natural nenul. Din rel. (6) si (7) rezulta valori pentru perechea de numere naturale nenule (n, p) astfel incat pentru acelasi k, 10k-2 divizibil cu 7 iar 10k-1 divizibil cu 9.
In concluzie tripleta (10k-2, 10k-2, 10k-1) genereaza pentru k=10 numerele (98, 98, 99) sau (49*2, 14*7, 11*9) din care rezulta (m,n,p) : (49, 14, 11)
Ecuatia (4) devine:
22*49 +27*14 + 29*11 = 210*10 (8)
Sau: (249)2 +(214)7+ (211)9= (210)10 (9)
Din (1) si (9) rezulta solutia:
a=249, b=214, c=211, d=210. (10)
Aratam ca ecuatia data admite o infinitate de solutii!
Am vazut mai sus ca din tripleta (10k-2, 10k -2, 10k-1) pentru k=10 obtinem (98, 98,99).
Cautam un alt k astfel ca cele trei numere sa fie, primul divizibil cu 2, al doilea cu 7 iar al treilaea cu 9. Daca primul numar este divizibil cu 2 oricare ar fi k, ramane sa gasim un k pentru care 10k -2 si 10k-1 sa fi divizibile cu 7 respectiv 9.
Am gasit (728, 729) cu 728=10*73 -2 = 7*104 si 729 = 10*73 -1=9*81
Ceea ce ne ajuta sa scriem egalitatea:
2728 +2728 + 2729 = 2730
Rezulta a doua solutie pentru ecuatia (1)
(2364)2 + (2104)7 + (281)9= (273 )10
a=2364 , b= 2104 , c= 281 , d= 273 . (11)
Observatie importanta! Din tripleta (728, 728, 729) putem genera o infinitate de perechi de numere prin adaugarea cifrei 0 intre 7 si 2, toate avand cele trei numere divizibile cu 2, cu 7, respectiv cu 9.
In concluzie pentru fiecare termen al sirului 10k: 730, 7030, 70030, 700030, … 7000…030, generam n triplete:
(728, 728, 729)1, (7028, 7028, 7029)2, … (7000…028, 7000…028, 7000…029)n
Acestea mai pot fi scrise:
(364*2, 104*7, 81*9)1, (3514, 1004*7, 781)2, … (350…014*2, 1000…04*7, 777…729)n
Ecuatia (1) a2 +b7 + c9 = d10 are n solutii de forma:
S1: (2364)2 + (2104)7 + (281)9= (273 )10
….
Sn: (23500…014)2 + (21000…04)7 + (2777…781)9= (27000…03 )10
La care adaugam si solutia gasita pentru k=10
(249)2 + (214)7 + (211)9= (210 )10