Soluţii corecte:  Vasile Trofin, Nicu Scutaru, Angela Sandu.

Problema a fost propusa de Aurel Ionescu, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

 

Angela Sandu:

4^49+4^49+2*4^49=4^50

a=2^49

b=4^7

c=2^11

d=4^5

 

Vasile Trofin:

Forma de prezentare a ecuației conduce la ideea că poate fi adusă la o forma diofantică fiindcă termenul c9  și termenul d10  indică că poate să fie  obținut din c9 printr-o operație aritmetică , dacă ecuația inițială a +b7 + c9  = d10 o aducem la forma xk-2 +yk-1 = zk  , unde x,y,z ,k -2 , k-1 , k sunt numere naturale >0 . Trebuie ca a2 + b7=(lm)2 +(ni)7 =( pq)9 iar c9=(rt)9  și d10 = (u)10 , toate numerele fiind naturale, >0. Pentru numerele l , n ,  r și u alegem valoarea comună 2  , valoare numită bază și voi demonstra ulterior că este unica valoare admisă pentru această ecuație.

 Expresiile devin :

a2 +b7 = 22m +27i ; c9 = 29t iar d10 = 210v.

 Ca să existe 22m +27i = 29t  iar 2*29t = 29t+1  = 210v  trebuie ca 9t+1=10v care are loc dacă t=11 și v=10. Deci c9 = 299 . Se deduce k=100 , k-1=99 și k-2=98, deci

2m=7i =98 cu soluțiile m=49 și i =14. Pentru t valoarea este t=11 iar pentru v valoarea este v=10.

Așadar ,

a=249  , b=214 , c=211  și d=210  care reprezintă soluția ecuației .

a2 + b7 +c9 = 298 + 298 + 299 = 2*298 + 299 = 299 + 299 = 2*299 = 2100 =( 210 )10 = d10.

(rezolvitorul da si o generalizare si alte cateva observatii interesante)

 

Nicu Scutaru:

Plecam de la o relatie cu o suma de  3 termeni cu puteri cu baza  2, in care exponentii nu sunt toti egali:

21 +21 + 22 = 2

22 +22 + 23 = 24

  …

2r-2 +2r-2 + 2r-1 = 2r  (2)

Pentru r=10k rel. (2) devine:

210k-2 +210k-2 + 210k-1 = 210k  (3)

22m +27n + 29p = 210k          (4) 

Din (3) si (4) rezulta conditiile:

 10k-2 = 2m (5),  10k -2 = 7n  (6), 10k-1  = 9p (7)

 Rel. (5)  este adevarata pentru orice k natural nenul. Din rel. (6) si (7) rezulta valori pentru perechea de numere naturale nenule (n, p) astfel incat pentru acelasi k, 10k-2 divizibil cu 7 iar 10k-1 divizibil cu 9.  

In concluzie tripleta (10k-2, 10k-2, 10k-1) genereaza pentru k=10 numerele (98, 98, 99) sau (49*2, 14*7, 11*9) din care rezulta (m,n,p) : (49, 14, 11)

Ecuatia (4) devine:

22*49 +27*14 + 29*11 = 210*10  (8)

Sau: (249)2 +(214)7+ (211)9= (210)10  (9)

Din (1) si (9) rezulta solutia:

a=249, b=214, c=211, d=210. (10)

Aratam ca ecuatia data admite o infinitate de solutii!

Am vazut mai sus ca  din tripleta (10k-2, 10k -2, 10k-1)  pentru k=10  obtinem (98, 98,99).

Cautam un alt k astfel ca  cele trei numere sa fie,  primul divizibil cu 2, al doilea cu 7 iar al treilaea cu  9. Daca primul numar este divizibil cu 2 oricare ar fi k, ramane sa gasim un k pentru care 10k -2 si  10k-1 sa fi divizibile cu 7 respectiv 9.  

Am gasit   (728, 729) cu  728=10*73 -2 = 7*104 si  729 = 10*73 -1=9*81

Ceea ce ne ajuta sa scriem egalitatea:  

2728 +2728 + 2729 = 2730   

Rezulta a doua solutie pentru ecuatia (1)

(2364)2 + (2104)7 + (281)9= (273 )10

a=2364 ,  b= 2104 ,  c= 281 ,  d= 273 .  (11)

Observatie importanta! Din tripleta  (728, 728, 729) putem genera o infinitate de perechi de numere prin adaugarea cifrei 0 intre 7 si 2, toate avand cele trei numere  divizibile cu 2,  cu 7,  respectiv cu 9.

In concluzie pentru fiecare termen al sirului 10k: 730, 7030, 70030, 700030, … 7000…030,  generam n triplete:

(728, 728, 729)1, (7028, 7028, 7029)2,  … (7000…028, 7000…028, 7000…029)n

Acestea mai pot fi scrise:

(364*2, 104*7, 81*9)1, (3514, 1004*7, 781)2, … (350…014*2, 1000…04*7, 777…729)n

Ecuatia (1)  a2 +b7 + c9 = d10   are n solutii de forma:

S1:  (2364)2 + (2104)7 + (281)9= (273 )10

….

 Sn:   (23500…014)2 + (21000…04)7 + (2777…781)9= (27000…03 )10

La care adaugam si solutia gasita  pentru k=10

  (249)2 + (214)7 + (211)9= (210 )10