Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Ioan Scutaru, Jean Henry Berevoescu, Vasile Trofin, Mihaela Voinescu, Emil Claudiu Man.
Nota: Problema nu admite o solutie unica. Am primit de la rezolvitori mai multe solutii posibile. Exemplificam cu cateva dintre ele.
Zoltan Szabo:
A atasat un fisie care contine 110 solutii posibile, obtinute cu ajutorul unui program.
Ioan Scutaru:
Ecuatia analitica a cercului cu centru în C (x0, y0 ) și rază R :
(X - x0)2 + (Y- y0)2 = R2
Fie tripletele de numere întregi: (3, 4, 5) Sunt numere pitagoreice.
R = 5.
(X - x0)2 + (Y- y0)2 = 52
Un punct de pe cerc va fi O (0,0), originea axelor, fapt ce ne permite să aflăm coordonatele centrului cercului. PunctulO (0,0) este primul din cele 7 puncte prin care trece cercul.
x02 + y02 = 52
32 + 42 = 52. Tot atât de bine relatia este verificată și pentru numerele întregi negative, ambele sau una dintre ele. Astfel se pot construi 4 cercuri în functie de cadranul in care sunt coordonatele.
Alegem pentru cercul C (x0, y0 ) coordonatele (3, 4).
Următoarele două puncte prin care trece cercul vor fi punctele de intersecție cu axele de coordonate X si Y.
Dacă X=0, 32 + (Y- 4)2 = 52 , relatia este verificată pentru Y = 8.
Al doilea punct prin care trece cercul are coordonatele întregi: A ( 0, 8).
Dacă Y = 0, (X - 3)2 + 42 = 52 , relație verificată pentru X = 6.
Al treilea punct prin care trece cercul are coordonatele întregi: B ( 6, 0).
Următoarele 4 puncte având coordonate întregi prin care trece cercul C(3,4) si R=5, sunt punctele de intersectie ale cerculul cu dreptele paralele cu cele doua axe, drepte care trec prin centrul cercului.
Cele două puncte ale intersectiei cu dreapata paraleleă cu axa X vor avea ordonata Y=4
(X - 3)2 + (4- 4)2 = 52 de unde X = -2, sau X = 8.
Al patrulea punct de pe cerc: C (-2, 4).
Al cincilea punct de pe cerec: D (8, 4).
Cele două puncte ale intersectiei cu dreapata paraleleă cu axa X vor avea abscisa X=3
(3 - 3)2 + (Y - 4)2 = 52 de unde Y = 9, sau Y = -1.
Al șaselea punct de pe cerc: E ( 3, 9).
Al șaptelea punct de pe cerc: F (3, -1).
Putem construi cercul care trece prin 7 puncte având coordonate numere întregi. Trasăm două axe care se intersecteaza in punctul O, originea axelor ortogonale, X si Y. Stabilim coordonatele centrului cercului în unul dintre cele 4 cadrane. În cadranul I vor fi x=3, y=4. Trasăm cercul de rază R=5 care va trece prin originea axelor și va intersecta axele X și Y în punctele (6,0) și (0,8). Trasăm două drepte una paralelă cu axa X cealaltă paralelă cu axa Y. Intersecția celor dou drepte cu cercul dat va da patru puncte având coordonatele numere întregi: (-2, 4), (8, 4), (3, 9), (3, -1).
Răspuns
Cele 7 puncte care au coordonate (x,y) numere întregi sunt: O (0, 0), A (0, 8), B (6,0), C (-2, 4), D (8, 4), E (3, 9), F (3, -1).
Notă: Poblema mai are 3 soluții dacă fixm centrul cercului pe rând în unul dintre celelalte cadrane ale sistemului de axe cartezian.
Jean Henry Berevoescu:
Construim patru puncte bazate pe un triplet de numere pitagorice (oricare set {a, b, c}).
Sa zicem: {3, 4, 5}
Punctele propuse pentru a trasa un cerc: (3, 4), (-3, 4), (-3, -4), (3, -4), (5, 0), (0, 5), (-5, 0).
Cercul va avea centrul in (0, 0) si raza R = 5.
In general, pentru orice set de nume pitagorice {a, b, c}, putem trasa un cerc prin: (a, b), (-a, b), (-a, -b), (a, -b), (c, 0), (0, c), (-c, 0).
Nota: putem alege 8 puncte, daca adaugam si (0, -c).
Vasile Trofin:
Pentru un cerc , care trece prin originea sistemului de coordonate rectangulare X0Y , de raza R= (1301/2)/2. , centrul de coordonate X=9/2 si Y= 7/2 , de ecuatie X2 +Y2 -9X-7Y=0 , cele 7 puncte cu coordonate numere intregi prin care trece cercul respectiv pot fi : O(0 , 0) ; A1(0 , 7) ; A2(9 , 7) ; A3(9 , 0) ; A4(3 , 9) ; A5(3 , -2) ; A6(6 , 9).
Mihaela Voinescu:
Teorema lui Schinzel => un exemplu de cerc care sa aiba exact n=2k+1 numar natural impar de puncte laticiale (i.e. cu coordonate intregi) pe circumferinta sa este cercul cu centrul in C(1/3,0) si raza R=5k/3
In cazul nostru n=7, k=3 si ecuatia cercului este (x-1/3)2 + y2 = (125/3)2
iar cele 7 punctele laticiale de pe cerc sunt:
A1(-33, -25)
A2(-33, 25)
A3(12, -40)
A4(12, 40)
A5(15, -39)
A6(15, 39)
A7(42, 0)
Emil Claudiu Man:
Pentru rezolvarea acestei probleme am studiat puțin numerele pitagorice care sunt triplete de numere naturale ce verifica relatia din teorema lui Pitagora.
Am găsit nenumărate soluții, astfel:
1. Cercul cu centrul în punctul de coordonate (5,8) și raza=5
Punctele care formează cercul sunt (0,8), (1,5), (2,4), (5,3), (8,4), (9,5), (10,8). Toate aceste puncte sunt la o distanță egală cu 5 de centrul cercului.
2. Cercul cu centrul în punctul de coordonate (5,9) și raza=5
Punctele care formează cercul sunt (0,9), (1,6), (2,5), (5,4), (8,5), (9,6), (10,9). Toate aceste puncte sunt la o distanță egală cu 5 de centrul cercului.
3. Cercul cu centrul în punctul de coordonate (5,10) și raza=5
Punctele care formează cercul sunt (0,10), (1,7), (2,6), (5,5), (8,6), (9,7), (10,10). Toate aceste puncte sunt la o distanță egală cu 5 de centrul cercului.
4. Cercul cu centrul în punctul de coordonate (5,10) și raza=10
Punctele care formează cercul sunt (5,0), (5,20), (11,2), (11,18), (13,4), (13,16), (15,10). Toate aceste puncte sunt la o distanță egală cu 10 de centrul cercului.
Dacă observăm aceste soluții atunci cred că am putea găsi și o soluția generală pentru cercul cu exact 7 puncte întregi.