Soluţii corecte:  Zoltan Szabo, Ioan Scutaru, Jean Henry Berevoescu, Vasile Trofin, Mihaela Voinescu, Emil Claudiu Man.

Nota: Problema nu admite o solutie unica. Am primit de la rezolvitori mai multe solutii posibile. Exemplificam cu cateva dintre ele.

 

Zoltan Szabo:

A atasat un fisie care contine 110 solutii posibile, obtinute cu ajutorul unui program.

 

Ioan Scutaru:

Ecuatia  analitica a  cercului   cu centru în C (x0, y) și rază R :

(X - x0)2 + (Y- y0)2 = R2  

Fie tripletele de numere întregi: (3, 4, 5) Sunt numere pitagoreice.  

R = 5.

(X - x0)2 + (Y- y0)2 = 52  

Un punct de pe cerc va fi O (0,0), originea axelor, fapt ce ne permite să aflăm coordonatele centrului cercului.  PunctulO (0,0) este primul din cele 7 puncte prin care trece cercul.

x02 + y02 = 52

32 + 42 = 52.  Tot atât de bine  relatia este verificată  și pentru  numerele  întregi negative, ambele sau  una dintre ele. Astfel se pot construi 4 cercuri în functie de cadranul in care sunt coordonatele.

 Alegem pentru cercul C (x0, y)  coordonatele (3, 4).

Următoarele două puncte prin care trece cercul vor fi punctele de intersecție cu axele de coordonate X si Y.

Dacă X=0,   32 +  (Y- 4)2 = 5, relatia este verificată pentru Y = 8.

Al  doilea punct prin care trece cercul are coordonatele întregi:  A ( 0,  8).

Dacă Y = 0,    (X - 3)2 + 42 = 52 , relație verificată pentru X = 6.

Al  treilea punct prin care trece cercul are coordonatele întregi: B ( 6,  0).

Următoarele 4 puncte având coordonate întregi prin care trece cercul C(3,4) si  R=5, sunt   punctele de intersectie ale cerculul cu dreptele paralele cu cele doua axe, drepte care trec prin centrul cercului.

Cele două puncte ale intersectiei cu dreapata paraleleă cu axa X vor avea ordonata  Y=4

(X - 3)2 + (4- 4)2 = 52   de unde X = -2, sau X = 8.

Al patrulea punct de pe cerc:  C (-2, 4).  

Al cincilea punct de pe cerec:  D (8, 4).

Cele două puncte ale intersectiei cu dreapata paraleleă cu axa X vor avea abscisa X=3

(3 - 3)2 + (Y - 4)2 = 52   de unde  Y = 9, sau Y = -1.

Al șaselea punct de pe cerc: E ( 3,  9).

Al șaptelea punct de pe cerc: F (3,  -1).

Putem construi cercul care trece prin 7 puncte având coordonate numere întregi. Trasăm  două axe care se intersecteaza in punctul O, originea axelor ortogonale, X si Y.  Stabilim coordonatele centrului cercului în unul dintre cele 4 cadrane. În cadranul I vor fi x=3, y=4. Trasăm cercul de rază R=5 care va trece prin originea axelor și va intersecta axele X și Y în punctele  (6,0) și (0,8). Trasăm două drepte una  paralelă cu axa X cealaltă  paralelă cu axa Y.  Intersecția celor dou drepte cu cercul dat va da patru puncte având coordonatele numere întregi: (-2, 4), (8, 4), (3, 9), (3, -1).

Răspuns

Cele 7 puncte care au coordonate (x,y) numere întregi sunt: O (0, 0), A (0, 8), B (6,0), C (-2, 4), D (8, 4), E (3, 9), F (3, -1).

Notă: Poblema mai are 3  soluții dacă fixm centrul cercului pe rând în unul dintre celelalte cadrane ale sistemului de axe cartezian.

 

Jean Henry Berevoescu:

Construim patru puncte bazate pe un triplet de numere pitagorice (oricare set {a, b, c}).

Sa zicem: {3, 4, 5}

Punctele propuse pentru a trasa un cerc: (3, 4), (-3, 4), (-3, -4), (3, -4), (5, 0), (0, 5), (-5, 0).

Cercul va avea centrul in (0, 0) si raza R = 5.

In general, pentru orice set de nume pitagorice {a, b, c}, putem trasa un cerc prin: (a, b), (-a, b), (-a, -b), (a, -b), (c, 0), (0, c), (-c, 0).

Nota: putem alege 8 puncte, daca adaugam si (0, -c).

 

Vasile Trofin:

Pentru un cerc , care trece prin originea sistemului de coordonate rectangulare X0Y ,  de raza R= (1301/2)/2. , centrul de coordonate X=9/2 si Y= 7/2  , de ecuatie X +Y2 -9X-7Y=0 ,  cele 7 puncte cu coordonate numere intregi prin care trece cercul respectiv pot fi : O(0 , 0) ; A1(0 , 7) ; A2(9 , 7) ; A3(9 , 0) ; A4(3 , 9) ; A5(3 , -2) ; A6(6 , 9). 

 

Mihaela Voinescu:

Teorema lui Schinzel => un exemplu de cerc care sa aiba exact n=2k+1 numar natural impar de puncte laticiale (i.e. cu coordonate intregi) pe circumferinta sa este cercul cu centrul in C(1/3,0) si raza R=5k/3

In cazul nostru n=7, k=3 si ecuatia cercului este (x-1/3)2 + y2 = (125/3)2

iar cele 7 punctele laticiale de pe cerc sunt:

A1(-33, -25)

A2(-33, 25)

A3(12, -40)

A4(12, 40)

A5(15, -39)

A6(15, 39)

A7(42, 0)

 

Emil Claudiu Man:

Pentru rezolvarea acestei probleme am studiat puțin numerele pitagorice care sunt triplete de numere naturale ce verifica relatia din teorema lui Pitagora.

Am găsit nenumărate soluții, astfel:

1. Cercul cu centrul în punctul de coordonate (5,8) și raza=5

Punctele care formează cercul sunt (0,8), (1,5), (2,4), (5,3), (8,4), (9,5), (10,8). Toate aceste puncte sunt la o distanță egală cu 5 de centrul cercului.

2. Cercul cu centrul în punctul de coordonate (5,9) și raza=5

Punctele care formează cercul sunt (0,9), (1,6), (2,5), (5,4), (8,5), (9,6), (10,9). Toate aceste puncte sunt la o distanță egală cu 5 de centrul cercului.

3. Cercul cu centrul în punctul de coordonate (5,10) și raza=5

Punctele care formează cercul sunt (0,10), (1,7), (2,6), (5,5), (8,6), (9,7), (10,10). Toate aceste puncte sunt la o distanță egală cu 5 de centrul cercului.

4. Cercul cu centrul în punctul de coordonate (5,10) și raza=10

Punctele care formează cercul sunt (5,0), (5,20), (11,2), (11,18), (13,4), (13,16), (15,10). Toate aceste puncte sunt la o distanță egală cu 10 de centrul cercului.

Dacă observăm aceste soluții atunci cred că am putea găsi și o soluția generală pentru cercul cu exact 7 puncte întregi.