Problema a fost propusa de Gianfranco Nencioni (în afara concursului). Mulțumim pentru propunere!
Soluţii corecte: Traian Dajma, Jean Henry Berevoescu, Mihaela Voinescu. Emil Claudiu Man si Stefan Gatachiu dau solutii corecte, dar pentru cazul particular in care A,B,C si D sunt distincte. Zoltan Szabo da o solutie aproape corecta (luand in considerare si impartirea la 0).
Jean Henry Berevoescu:
A x B z CD
Pentru A si B numere de o cifra, exista 10 * 10 = 100 combinatii distincte.
CD poate lua valori de la 0 la 99 – deci sint 100 combinatii distincte.
In general, pentru orice combinatie de numere de o cifra A si B, rezultatul operatiei A x B este un numar intre 0 si 99. Deci unul dintre operatorii z din setul {=, <, >} da o relatie matematica corecta pentru fiecare combinatie CD.
Cazuri speciale
Asta inseamna ca avem 100 de variante A x B z CD valide pentru fiecare caz A x B, pentru fiecare operator x. De unde ajungem la un total de: 100 * 100 * 4 = 40000.
Pentru operatorul / avem 10 combinatii A x B “interzise” : ar trebui sa scadem 10 * 100 = 1000 din total. Decit totalul ar fi 39000.
Mihaela Voinescu:
CD = 00, 01, …, 99
AxB = R rezultatul operatiei unde x poate fi +,-,*,/ iar A, B cifre
=> -9 <= R <=81
Daca R=0, atunci avem urmatoarele relatii posibile cu CD = 00, …, 99:
R = 00 → 1 relatie
R< 01, .., 99 → 99 relatii
relatii R>CD nu sunt posibile in cazul acesta
deci in total 100 relatii
Daca R intreg > 0, atunci avem urmatoarele relatii posibile cu CD = 00, …, 99:
R=R → 1 relatie
R>0, …, R-1 → R relatii
R
deci in total 100 relatii
Daca R intreg < 0, atunci avem urmatoarele relatii posibile cu CD = 00, …, 99
R<00, .., 99 → 100 relatii
relatii R=CD si R>CD nu sunt posibile in cazul acesta
deci in total 100 relatii
Daca R >0 dar nu natural (acesta este cazul pentru rezultatul unei impartiri inexacte intre 2 cifre), notam cu [R]>=0 partea intreaga a lui R, atunci avem urmatoarele relatii posibile cu CD = 00, …, 99:
R<[R]+1, …, 99 → 99-[R] relatii
R>0, .., [R] → [R]+1 relatii
relatii R=CD nu sunt posibile in acest caz, R nu e natural, CD este natural
deci in total 100 de relatii
---------------------------------------------
Asadar pentru orice rezultat posibil R al oricarei operatii din cele date pe cifre, avem 100 de relatii corespunzatoare.
Pentru operatia +, avem 10*10 perechi posibile de cifre (A, B) => 100*100 = 10 000 relatii A+B z CD
Pentru operatia -, avem 10*10 perechi posibile de cifre (A, B) => 100*100 = 10 000 relatii A-B z CD
Pentru operatia *, avem 10*10 perechi posibile de cifre (A,B) => 100*100 = 10 000 relatii A*B z CD
Pentru operatia /, B nu poate fi zero, avem deci 10*9 perechi posibile de cifre (A,B) => 90*100 = 9000 relatii A/B z CD
In total 39 000 relatii.