Problema a fost propusa de Gianfranco Nencioni (în afara concursului). Mulțumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Traian Dajma, Jean Henry Berevoescu, Mihaela Voinescu. Emil Claudiu Man si Stefan Gatachiu dau solutii corecte, dar pentru cazul particular in care A,B,C si D sunt distincte. Zoltan Szabo da o solutie aproape corecta (luand in considerare si impartirea la 0).

 

Jean Henry Berevoescu:

A x B z CD

Pentru A si B numere de o cifra, exista 10 * 10 = 100 combinatii distincte.

CD poate lua valori de la 0 la 99 – deci sint 100 combinatii distincte.

In general, pentru orice combinatie de numere de o cifra A si B, rezultatul operatiei A x B este un numar intre 0 si 99. Deci unul dintre operatorii z din setul {=, <, >} da o relatie matematica corecta pentru fiecare combinatie CD.

Cazuri speciale

  1. operatorul -, cind A < B: cind rezultatul este un numar negativ, cind A - B < CD, oricare ar fi CD.
  2. operatorul /, cind B = 0: cind rezultatul este nedefinit.

Asta inseamna ca avem 100 de variante A x B z CD valide pentru fiecare caz A x B, pentru fiecare operator x. De unde ajungem la un total de: 100 * 100 * 4 = 40000.

Pentru operatorul / avem 10 combinatii A x B “interzise” : ar trebui sa scadem 10 * 100 = 1000 din total. Decit totalul ar fi 39000.

 

Mihaela Voinescu:

CD = 00, 01, …, 99

AxB = R rezultatul operatiei unde x poate fi +,-,*,/ iar A, B cifre

=> -9 <= R <=81

Daca R=0, atunci avem urmatoarele relatii posibile cu CD = 00, …, 99:

R = 00 → 1 relatie

R< 01, .., 99 → 99 relatii

relatii R>CD nu sunt posibile in cazul acesta

deci in total 100 relatii

Daca R intreg > 0, atunci avem urmatoarele relatii posibile cu CD = 00, …, 99:

R=R → 1 relatie

R>0, …, R-1 → R relatii

R

deci in total 100 relatii

Daca R intreg < 0, atunci avem urmatoarele relatii posibile cu CD = 00, …, 99

R<00, .., 99 → 100 relatii

relatii R=CD si R>CD nu sunt posibile in cazul acesta

deci in total 100 relatii

Daca R >0 dar nu natural (acesta este cazul pentru rezultatul unei impartiri inexacte intre 2 cifre), notam cu [R]>=0 partea intreaga a lui R, atunci avem urmatoarele relatii posibile cu CD = 00, …, 99:

R<[R]+1, …, 99 → 99-[R] relatii

R>0, .., [R] → [R]+1 relatii

relatii R=CD nu sunt posibile in acest caz, R nu e natural, CD este natural

deci in total 100 de relatii

---------------------------------------------

Asadar pentru orice rezultat posibil R al oricarei operatii din cele date pe cifre, avem 100 de relatii corespunzatoare.

Pentru operatia +, avem 10*10 perechi posibile de cifre (A, B) => 100*100 = 10 000 relatii A+B z CD

Pentru operatia -, avem 10*10 perechi posibile de cifre (A, B) => 100*100 = 10 000 relatii A-B z CD

Pentru operatia *, avem 10*10 perechi posibile de cifre (A,B) => 100*100 = 10 000 relatii A*B z CD

Pentru operatia /, B nu poate fi zero, avem deci 10*9 perechi posibile de cifre (A,B) => 90*100 = 9000 relatii A/B z CD

In total 39 000 relatii.