Rezolvare:
Soluţşia 1 (Ady Nicolae):
Cheie problemei constă în identificarea numerelor întoarse de computer.
Se observă că aceste numere date de computer arată de câte ori apare fiecare cifră din numărul de intrare.
De exemplu, numărul 9630751442 conține cifra zero o singură data (1), cifra 1 o singură dată (1), cifra 2 o singură data, cifra 3 o singură dată (1), cifra 4 de două ori (2), cifra 5 o singură dată (1), cifra 6 o singură dată (1), cifra 7 o singură dată (1), nu conține cifra 8 (0), cifra 9 o singură dată (1).
Aşadar, răspunsul computerului este 1111211101.
Ideea este de a tasta un număr, iar computerul să întoarcă acelaşi număr (un număr care se creează pe el însuşi), deoarece asta ar însemna să acționăm ambele capcane în acelaşi timp, lucru imposibil.
Suma cifrelor numărului întors de computer este întotdeauna 10. Asta înseamnă că numărul nostru va trebui să aibe multe cifre de 0.
Să presupunem că numărul zerourilor este 4.
Numărul va începe, evident cu cifra 4, iar pe poziția corespunzătoare cifrei 4 va trebui să avem 1.
4xxx1x0000
Se observă că numărul conține cifra 1, rezultă:
41xx1x0000
Acum avem două cifre de 1, deci numărul devine:
42xx1x0000
Avem o cifră de 2:
421x1x0000
Se observă că cele două x-uri nu le mai putem înlocui cu cifre. Caz imposibil.
De asemenea, observăm că înlocuind x-urile cu cifra 0, tot ce trebuie să facem este să schimbăm cifra 4 cu cifra 6. Şi, bineînțeles să schimbăm poziția celei de-a doua cifre de 1:
6210001000
Soluția este unică.
Soluţia 2 (Zoltan Szabo):
Conform perechilor de numere
9630751442 -> 1111211101
6626012798 -> 1120003111
3578545411 -> 0201230110
4720309962 -> 2021101102
Primul gând m-a dus către numere scrise în baza 4. Însă transcriind aceste numere în baza 10, nu se vede nicio regulă.
Avem însă exact 10 cifre la ambele numere. După un studiu atent observăm, că al doilea număr din fiecare pereche conţine numărul de cifre apărute în primul număr în ordinea 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Adică în numărul 9630751442 avem
cifra 0 - 1 apariţie
cifra 1 - 1 apariţie
cifra 2 - 1 apariţie
cifra 3 - 1 apariţie
cifra 4 - 2 apariţii
cifra 5 - 1 apariţie
cifra 6 - 1 apariţie
cifra 7 - 1 apariţie
cifra 8 - 0 apariţii
cifra 9 - 1 apariţie
Astfel obţinem numărul 1111211101. La fel se generează şi celelalte coduri.
Conform enunţului, pentru fiecare cod se activează o modalitate de moarte, dar dacă ambele modalităţi se activează deodată, atunci sistemul se blochează. Deci ar trebui să găsim acel număr, care este identic cu codul lui, şi pentru care se realizează o activare dublă.
Conform regulilor de codificare, dacă apare în cod o cifră n, atunci numărul conţine cifra o c de n ori ccc...c...cc iar în codificare pe poziţia c vom avea valoarea n.
Suma tuturor cifrelor din codificare este 10. Deci în numărul nostru sigur nu vor fi dintre cifrele 5,6,7,8,9 mai mult de 1.
Cazul 1.
Să presupunem că 5 aparţine numărului. Atunci structura numărului este ccccc5xxxx. Adică numărul va conţine 5 cifre cu valoarea c şi o cifră 5, apoi alte x cifre încă nedeterminate.
În codificare avem o cifră mai mică decât 5 de 5 ori. Deci 5*c+5+1<10. De unde deducem, că c poate fi doar 0.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 ? ? ? ? 1 0 0 0 0
în locul semnelor de întrebare există o cifră 0, iar cifra 1 nu poate fi doar o dată, că apare şi la cifra 5, deci apare încă o dată. deci
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 2 ? ? ? 1 0 0 0 0
Asta implică aopariţia cifrei 2 în schemă
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 2 1 ? ? 1 0 0 0 0
DIn cele două cifre negăsite una este 0, iar cealaltă va realiza incompatibilitate cu problema!
Deci cu 5 nu avem soluţie.
Cazul 2.
Să presupunem că 6 aparţine numărului. Dintr-o deducţie asemănătoare cu cea de mai sus, vom observa că cele două cifre rămase, ambele vor fi 0, şi obţinem soulţia problemei:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 2 1 0 0 0 1 0 0 0
Adică pentru numărul 6210001000, codul generat va fi 6210001000 şi în asemenea condiţii computerul de la sala de tortură se blochează, iar deţinutul va fi eliberat după 15 minute.
Celelalte cazuri nu furnizează alte soluţii.
Unicitatea soluţiei a fost verificată pe calculator cu program relativ simplu dar care a rulat cca 5 ore.
Alte soluţii:
- Ştefan Muntean:
Nu prea am ce demonstra, va spun numai ca algoritmul computerului este urmatorul: de la stanga la dreapta, incepand numerotarea de la 0, fiecare cifra indica de cate ori apare ... cifra respectiva in numarul introdus. Primul exemplu dat in enunt (9630751442 / 1111211101), se poate traduce asa: 0 a fost introdus de 1 ori, 1 de 1 ori, 2 de 1 ori, 3 de 1 ori, 4 de 2 ori etc. Si celelalte exemple se conformeaza regulii.
Tot ce avem de facut este sa introducem un numar care ... se returneaza pe el! In felul asta, cele 2 sisteme se blocheaza.
Numarul cautat este 6210001000. Adica 0 apare de 6 ori, 1 de 2 ori, 2 de 1 ori, 3 de 0 ori etc.
- Ştefan Gaţachiu:
Se observă că numărul generat de calculator reprezintă, de la stânga la dreapta, numărul de cifre de 0, 1, 2,......, 9 ale numărului introdus în calculator.
De exemplu, pentru numărul 9630751442 avem 1 cifră de 0, 1 cifră de 1, 1 cifră de 2, 1 cifră de 3, 2 cifre de 4, 1 cifră de 5, 1 cifră de 6, 1 cifră de 7, 0 cifre de 8, 1 cifră de 9, deci numărul generat de calculator este 1111211101. Regula se păstrează și pentru celelalte trei exemple date.
Pentru a bloca cele două capcane, ar trebui ca numărul generat de calculator să fie identic cu cel introdus în calculator.
Un asemenea număr este 6210001000.
Într-adevăr, avem 6 cifre de 0, 2 cifre de 1, 1 cifră de 2, 0 cifre de 3, 0 cifre de 4, 0 cifre de 5, 1 cifră de 6, 0 cifre de 7, 0 cifre de 8, 0 cifre de 9.
- Bogdan Burlacu:
Se observa din textul problemei ca singura posibilitate de salvare este activarea simultana a ambelor capcane. Cu alte cuvinte trebuie gasit un input pt calculatorul din camera X pt care output-ul sa fie acelasi cu input-ul. In acest fel ambele capcane vor fi activate simultan.
- Marius A