Rezolvare:
Soluţia 1 (Zoltan Szabo):
Proprietate: Fie trei puncte necoliniare A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC). Determinantul
|1 xA yA |
|1 xB yB | = xByC + xAyB + xCyA – xByA – xCyB – xAyC
|1 xC yC |
are valoare pozitivă dacă ordinea punctelor A,B,C este în sens trigonometric şi are valoarea negativă dacă punctele sunt în sensul acelor de ceasornic.
Valoarea absolută a determinantului este dublul suprafeţei triunghiului ABC.
Revenind la problemă: Distanţa parcursă de la epavă, notată cu punctul E, până la punctul A, este egală cu distanţa parcursă de la A până la punctul final notat cu P, după o întoarcere la stânga cu 90 de grade (deci determinantul este pozitiv).
De asemenea, distanţa de la punctul E până la punctul B este egală cu distanţa parcursă de la B la punctul final notat cu Q, după o întoarcere la dreapta cu 90 de grade (deci determinantul este negativ).
Ştiind că triunghiul EAP este dreptunghic isoscel cu cateta EA, aria sa este egală cu EA*EA/2.
În mod analog aria triunghiului EBQ este egală cu EB*EB/2.
Vom încerca să demonstrăm, că oricum am alege punctul E, jumătatea segmentului PQ este aceeaşi. Adică poziţia comoarei nu depinde de poziţia epavei.
În acest sens vom alege vom alege un sistem cartezian convenabil în care segmentul AB este orizontal, iar mijlocul segmentului este punctul O(0,0). Avem punctele A(-a,0), B(a,0), E(b,c).
Avem lungimea segmentelor EA=sqrt((a+b)2+c2), respectiv EB= sqrt((a-b)2+c2). (sqrt=radical)
Deci dublul ariei triunghiului EAP este egal cu 2*AEAP= (a+b)2+c2, iar dublul ariei triunghiului EBQ este egal cu 2*AEBQ= (a-b)2+c2.
Fie punctele de coordonate P(xp,yp) şi Q(xQ,yQ).
Determinantul de mai jos este pozitiv (pentru că s-a efectuat o întoarcere spre stânga cu 90 de grade) şi este egal cu dublul ariei triunghiului EAP.
|1 xE yE| |1 b c|
|1 xA yA| = |1 -a 0| = -ayP + cxP + ac – byP = -yP(a+b)+c(a+xP)
|1 xP yP| |1 xP yP|
-yP(a+b)+c(a+xP)= (a+b)2+c2
De aici obţinem yP=-a-b, a+xP=c, adică P(c-a,-a-b).
Determinantul asociat triunghiului EBQ este negativ (pentru că s-a efectuat o întoarcere spre stânga cu 90 de grade) şi este egal cu dublul ariei triunghiului EBQ.
|1 xE yE| |1 b c|
|1 xB yB| = |1 a 0| = ayQ + cxQ - ac – byQ = yQ(a-b)+c(-a+xQ)
|1 xQ yQ| |1 xQ yQ|
-(yQ(a-b)+c(-a+xQ))= (a-b)2+c2
-yQ(a-b)+c(a-xQ)= (a-b)2+c2
De aici obţinem yQ=-a+b, a-xQ=c, adică Q(a-c,-a+b).
Notăm cu M jumătatea segmentului PQ, Punctul M are coordonatele:
xM=(xP+xQ)/2=(c-a+a-c)/2=0,
yM=(yP+yQ)/2=(-a-b-a+b)/2=(-2a)/2=-a.
Observăm că punctul M(0,-a) nu depinde de poziţia epavei E(b,c), ci numai de poziţiile punctelor A(-a,0) şi B(a,0).
Comoara se găseşte în intersecţia diagonalelor pătratului cu latura AB, construit înspre “jos” dacă a>0 şi înspre “sus” dacă a<0.
Soluţia 2 (Vasile Vâlvoiu):
Consideram ca suprafata insulei se afla pe un plan (ignorand curbura Terrei), si un sistem de coordonate cartezian ales aleator in acest plan.
Vom nota pozitia primului copac A = [Ax Ay], pozitia celui de-al doilea copac cu B = [Bx By], pozitia punctului de plecare cu P = [Px Py] iar pozitia comorii C = [Cx Cy].
Urmarim sa determinam daca C este dependenta de P sau nu, si in ce mod.
Pozitia A' (determinata de prima parte a algoritmului de gasire al comorii), este echivalenta cu P rotit cu 90 grade dupa A in sens trigonometric. Astfel:
A' = A + (P - A) * [0 -1 ; 1 0]
= [Ax Ay] + [Px-Ax Py-Ay] * [0 -1 ; 1 0]
= [Ax Ay] + [Py-Ay Ax-Px]
= [Ax+Py-Ay Ax+Ay-Px]
Pozitia B' (determinata de a doua parte a algoritmului de gasire al comorii), este echivalenta cu P rotit cu 90 grade dupa B in sensul acelor de ceasornic. Astfel:
B' = B + (P - B) * [0 1 ; -1 0]
= [Bx By] + [Px-Bx Py-By] * [0 1 ; -1 0]
= [Bx By] + [By-Py Px-Bx]
= [Bx+By-Py By-Bx+Px]
Pozitia C determinata:
C = (A' + B') * 1/2
= ([Ax+Py-Ay Ax+Ay-Px] + [Bx+By-Py By-Bx+Px]) * 1/2
= [Ax-Ay+Bx+By Ax+Ay+By-Bx] * 1/2
Observam ca C poate fi scris doar din A si B, rezultand ca pozitia comorii este independenta de pozitia de plecare. Astfel, Jones poate porni de oriunde de pe insula pentru a gasi comoara.
NOTA: Notatia [a b ; c d] este folosita pentru matricea 2x2 cu liniile [a b] si [c d].
Notă (AA): Din păcate, deoarece nu ştiu cum să încarc pe site fişiere pdf, nu am putut rescrie soluţia în Latex (cu prezentare pdf). Din acest motiv, îmi cer scuze pentru formulele matematice, destul de greu de parcurs.
Soluţia 3 (Adrian Scrab):
Pentru inceput, am notat epava cu "E" si locul in care se afla comoara cu "C". Am luat pe rand cazurile in care unghiul AEB este ascutit, drept si obtuz, si am observat ca in toate cele 3 cazuri, daca de la C ducem linii la A si B, se formeaza un triunghi isoscel si dreptunghic, cu unghiul drept in ACB. Asadar, dupa ce epava dispare, pentru a gasi comoara, se formeaza un triunghi isoscel dreptunghic cu ipotenuza AB, iar in locul unde se va forma unghiul drept (punctul C) se va gasi comoara. Tringhiul se va forma de o parte si de alta a liniei AB, notandu-se cele doua puncte gasite cu C si C'. Comoara se gaseste in unul di