Problema nu ii apartine, dar a fost propusa de Ady Nicolae, care a primit punctajul aferent acesteia (15 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Traian Dajma, Zoltan Szabo, Jean-Henry Berevorescu, Ioan Scutaru, Aurel Ionescu, Stefan Gatachiu, Emil Claudiu Man (partial).

 

Traian Dajma:

A. Calculam Aria(Dan), pentru care obtinem valoarea 27m²

MNPQ = patrat cu varfurile in mijlocele laturilor patratului ABCD si laturile linii mijlocii in triunghiurile formate de diagonalele patratului ABCD si varfurile acestuia.

In patratul MNPQ construim paralele la laturile sale prin punctul Z. Aceste paralele intersecteaza laturile patratului MNPQ in punctele: E ∈ MN; F ∈ NP; G ∈ PQ; H ∈ QM. ZH ⊥ MQ; ZE ⊥ MN; ZF ⊥ NP; ZG ⊥PQ (paralele la doua laturi in patrat si perpendiculare pe celelalte doua laturi).

Aria(AMZQ) = Aria(AMQ) + Aria(MZQ)

Aria(BNZM) = Aria(MBN) + Aria(MNZ)

Aria(NCPZ) = Aria(NCP) + Aria(NPZ)

Aria(ZPDQ) = Aria(PDQ) + Aria(ZPQ)

Aria(AMQ) = Aria(MBN) = Aria(NCP) = Aria(PDQ) sunt triunghiuri congruente LUL (catele egale cu 1/2 din laturile patratului ABCD si unghi de 90º).

Aria(MZQ) + Aria(NPZ) = ZH*QM/2 + ZF*NP/2. QM=PN => QM*ZH/2 + QM*ZF/2 = QM/2*(ZH+ZF) = QM*HF/2=DB*HF.

idem Aria(MZN) + Aria(ZPQ) = AC*EG.

Rezulta ca Aria(MZQ) + Aria(NPZ) = Aria(MZN) + Aria(ZPQ).

Asadar: Aria(Andrei) + Aria(Dan) = Aria(Cosmin) + Aria(Bogdan). <=> 21 + Aria(Dan) = 17 + 31 => Aria(Dan) = 17 + 31 - 21 = 27m².

Aria(Dan) = 27m²

Aria totala = 17 + 21 + 31 + 27 = 96m². AB = SQRT(96) = 9,798m.

B. Determinam pozitia punctului Z.

Aria(AMQ) = AM*AQ/2 = AM²/8 = 96/8 = 12m²

Aria(QMZ) = 21 - 12 = 9m²

QM² = AQ² + AM² = 2AQ² = 2*24 = 48 => QM = 4*SQRT(3).

HZ = Aria(QMZ)/QM = 9/(4*SQRT(3)) = 3*SQRT(3)/4.

HZ = 3*SQRT(3)/4 = 1,299m.

Aria(PDQ) = 12m² (demonstrat anterior).

Aria(ZPQ) = 17 - 12 = 5m²

QP = 4*SQRT(3) (demonstrat anterior).

GZ = Aria(ZPQ)/QP = 5/(4*SQRT(3)) = 5*SQRT(3)/12.

GZ = 5*SQRT(3)/12 = 0,721m.

Pozitia punctului Z este determinat de intersectia celor doua paralele duse la o distanta de 3*SQRT(3)/4 de QM si la o distanta de 5*SQRT(3)/12 de QP, pe partea opusa varfului A respectiv varfului D.

 

 

Jean-Henry Berevorescu:

Consideram ca punctul Z este determinat de coordonatele x si y, raportate la originea O (centrul patratului).

Pentru un caz general, aratat in imagine, suprafetele celor patru parcele sint: a, b, c si d, unde a = 21, b = 31 si d = 17. Suprafata c nu este cunoscuta.

Suprafetele celor patru parcele pot fi exprimate ca in urmatorul sistem de 4 ecuatii:

a = (m + x)(m - y) + (m + x)y / 2 - (m - y)x / 2 = m^2 + mx/2 - my/2

b = (m - x)(m - y) + (m - x)y / 2 + (m - y)x / 2 = m^2 - mx/2 - my/2

c = (m - x)(m + y) - (m - x)y / 2 + (m + y)x / 2 = m^2 - mx/2 + my/2

d = (m + x)(m + y) - (m + x)y / 2 - (m + y)x / 2 = m^2 + mx/2 + my/2

 Unde m este jumatatea laturii patratului care reprezinta parcela mare (care este divizata in cele 4 parcele mai mici).

Avind in vedere ca a = 21, b = 31 si d = 17, putem simplifica cele trei ecuatii, inlocuind:

m^2 = s, mx/2 = t, my/2 = u:

21 = s + t - u

31 = s - t - u

17 = s + t + u

Din prima ecuatie: s = 21 - t + u. Inlocuind pe s in urmatoarele doua ecuatii, obtinem:

31 = 21 - t + u - t - u ⇒ t = -5

17 = 21 - t + u + t + u ⇒  u = -2

deci: s = 24

Dar in ecuatia cu suprafata necunoscuta (c), avem:

c = s - t + u = 27

Deci suprafata parcelei lui Dan este 27 m^2

Punctul de intersectie comun celor patru parcele este determinat de valorile lui x si y.

Din s = m^2 = 24 ⇒ m = 2 radical(6)

Din t = -5 si u = -2 avem:

mx/2 = -5 ⇒ x = - 5 / radical(6)

si:

my/2 = -2 ⇒ y = - 2 / radical(6)

Deci punctul de in care se intilnesc toate cele 4 parcele este mai jos de centrul parcelei mama (O) cu 2/rad(6) metri si spre stinga cu 5/rad(6) metri.

 

Zoltan Szabo (o rezolvare interesanta care priveste problema ca o problema de constructie, o prezentam aici fara demonstratii):

1. Suprafața lui Dan are mărimea 27 mp.

2. Pentru identificarea punctului de intersecție vom trasa toate segmentele oblice care unesc mijloacele laturilor pătratului. Fiecare segment oblic se va împărți în 24 de segmente identice. Segmentele oblice din stânga-jos respectiv dreapta-sus vor fi împărțite în două segmente de lungimi  9 și 15 unități, de sus în jos. Segmentele oblice din stânga-sus respectiv dreapta jos vor fi împărțite în două segmente de lungimi 5 și 19 unități de la stânga la dreapta. Trasând segmentele paralele laturile pătratului oblic înscris în pătratul mare, acestea se vor intersecta în punctul cerut de problemă.