Soluţii corecte: Aurel Ionescu, Ady Nicolae, Emil Claudiu Man, Zoltan Szabo, Viorel Manta, Ioan Scutaru, Monica Oprina, Flavius Suciu, Stefan Gatachiu, Cristian Daniel Balanoiu.
Zoltan Szabo:
Următorul număr cu proprietatea cerută este 1680.
Am generat numerele cu ajutorul aplicatiei Excel.
Am găsit următoarele numere: x[1]=48, x[2]=1680, x[3]=57120, x[4]=1940448, x[5]=65918160, x[6]= 2239277040.
Am observat că șirul x[i]/x[i-1] este convergent cu limita 33,97056...
Apoi am căutat pe internet și am găsit următoarele formule recursive:
x[n]=35*x[n-1]-35*x[n-2]+x[n-3], x[0]=0, x[1]=48, x[2]=1680 (Harvey P. Dale)
sau
x[n]=34*x[n-1]-x[n-2]+48 , x[0]=0, x[1]=48 (Vincenzo Librandi)
sau o formulă nerecursivă:
x[n] = (-6+(3-2*sqrt(2))*(17+12*sqrt(2))^(-n)+(3+2*sqrt(2))*(17+12*sqrt(2))^n)/4 (Colin Barker)
Primele 20 de elemente ale șirului sunt:
x[0]= 0
x[1]= 48
x[2]= 1680
x[3]= 57120
x[4]= 1940448
x[5]= 65918160
x[6]= 2239277040
x[7]= 76069501248
x[8]= 2584123765440
x[9]= 87784138523760
x[10]= 2982076586042448
x[11]= 101302819786919520
x[12]= 3441313796169221280
x[13]= 116903366249966604048
x[14]= 3971273138702695316400
x[15]= 134906383349641674153600
x[16]= 4582845760749114225906048
x[17]= 155681849482120242006652080
x[18]= 5288600036631339114000264720
x[19]= 179656719395983409634002348448
x[20]= 6103039859426804588442079582560
Ioan Scutaru:
1+a=b2, 1+ a/2=c2. a este număr par, deci b si c vor fi numere impare. Dupa ce eliminam pe a din cele doua relații obținem: b2 - 1=2(c2 -1), de unde obținem : (b-1)(b+1)=2(c - 1)(c +1), b si c fiind impare le notam cu b=2k+1, c=2t+1, relația devine: 2k(2k+2)=2(2t)(2t+2), după simplificări obținem: k(k+1) = 2t (t+1)
k=3 verifica relația, 3x4=2x2x3 deci t=2, c=2t+1=5, c2=25, b=2k+1= 7, b2=49.
Următorul patrat perfect care raspunde cerințelor problemei este pentru k=20
20x21=2x10x3x7=2x2x5x3x7=2x2x7x3x5=2x14x15 de unde scoatem t=14
b=2k+1=41, c=2t+1=29.
412=1681=1680+1. 1680/2=840, 840+1=841=292
Monica Oprina:
Urmatorul numar cu aceleasi proprietati ca 48 este 1680.
1. 1680+1 = 1681 - patrat perfect (41*41)
2. 1680/2 + 1 = 841 - patrat perfect (29*29).
Am rezolvat problema folosind limbajul C++, dar se poate rezolva usor si folosind o aplicatie de calcul tabelar.
#include <iostream>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
int main()
{double a,b;
int i;
for(i=49;i<=10000;i++)
{a=sqrt(i+1);
b=sqrt(i/2+1);
int c=a;
int d=b;
if (a==c && b==d)
cout<<i;
}
return 0;
}