Soluţii: Zoltan Szabo, Ady Nicolae, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Monica Oprina, Stefan Gatachiu, Viorel Manta, Cristian Daniel Balanoiu

Ionel-Vasile Pit-Rada:

In drumul ei, cel mai scurt, furnica traverseaza doua fete si taie o muchie a cubului.
Cele doua fete formeaza un dreptunghi de dimensiuni 2x1, iar drumul  minim al furnicii va fi pe dreapta care uneste cele doua colturi opuse, adica pe diagonala acestui dreptunghi.
Lungimea minima a traseului va fi astfel egala cu radical din 5, care este aproximativ 2.236

Stefan Gatachiu:

Fie cubul:

Considerăm colțurile opuse A și C’.

Desfășurăm cubul în plan.

Am notat doar baza ABCD și E (sau F) punctul unde ajunge C’.

Cum drumul cel mai scurt dintre 2 puncte este linia dreaptă, trasăm segmentele AE (sau AF), aceasta fiind distanța minima pe care o parcurge furnica de la A la C’ mergând pe pereții cubului. Punctele M și N se află la mijlocul segmentelor BC, respective CD.

Deci furnica trebuie să meargă pe fața ABCD a cubului în linie dreaptă din A până la mijlocul M al lui BC (sau N al lui CD), apoi să meargă din M pe fața BCC’B’ până în C’ (adică E), (sau din N pe fața CDD’C’ până în C’ (sau F))

Distanța parcursă este: AE = sqrt(AD^2 + DE^2) = sqrt(5)

sau AF = sqrt(AF^2 + BF^2) = sqrt(5)

unde sqrt este radical.

Viorel Manta:

Notam cubul cu ABCDA'B'C'D'

Drumul cel mai scurt (dar prin interior) este diagonala mare care are lungimea de sqrt3 (radical din 3).

Drumul pe itinerariul ABC' are lungimea 1+sqrt2 

Lungimea drumului minima pe cub este de sqrt5 (furnica porneste din coltul A pe un drum pana la jumatatea lui BB' (B'')si apoi mai departe pana in C'), intrucat 1+sqrt2>sqrt5.

Lungimea AB''C' este 2sqrt(1+1/4)= sqrt5.