Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Angela Sandu, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Andrei Goku

 

Zoltan Szabo:

Vom nota cu A1, C1, F1 timpii de inceput al  lui Andrei, Corina respectiv Florina, și cu A2, C2, F2 timpii de terminare.

Este evident că orice timp de inceput este strict mai mic decât orice timp de terminare, pentru că există o perioadă când toți trei cântă. Vom calcula toate modurile distincte de începere a cântecelor.

Generăm șiruri cu următoarea semnificație: timpii de începere sunt ordanete strict crescătoar citind elementele de la stânga la dreapta, iar în cazul timpilor egali literele sunt concatenate.

Am obținut următoarele 13 cazuri.

{A1,C1,F1},{A1,CF1},{A1,F1,C1},{AC1,F1},{ACF1},{AF1,C1}

{C1,A1,F1},{C1,AF1},{C1,F1,A1},{CF1,A1}

{F1,A1,C1},{F1,AC1},{F1,C1,A1}

În mod similar avem 13 cazuri de oprire:

{A2,C2,F2},{A2,CF2},{A2,F2,C2},{AC2,F2},{ACF2},{AF2,C2}

{C2,A2,F2},{C2,AF2},{C2,F2,A2},{CF2,A2}

{F2,A2,C2},{F2,AC2},{F2,C2,A2}

Toate cu începuturile se pot combina cu toate opririle, deci avem în total 13*13=169 de posibilități.

 

Aurel Ionescu:

Pentru cei care incep avem urmatoarele posibilitati:

1 Sa inceapa toti trei in aceleasi timp.

2.Sa inceapa Andei si Corina in acelasi timp si apoi sa inceapa Florina

3.Sa inceapa Florina apoi sa inceapa Andei si Corina in acelasi timp

4. Sa incepa Andei si Florina in acelasi timp si apoi sa inceapa Corina

5. Sa inceapa Corina apoi sa inceapa Andei si Florina in acelasi timp

6. Sa inceapa Corina si Florina in acelasi timp apoi sa inceapa Andrei

7. Sa inceapa Andei si Florina apoi sa inceapa Corina si Florina in acelasi timp

8. Sa inceapa Andei apoi Corina si apoi Florina

9. Sa  inceapa Andrei apoi Florina si apoi Corina

10. Sa inceapa Corina apoi Andrei si apoi Florina

11. Sa inceapa Corina apoi Florina si apoi Andrei

12.Sa inceapa Florina apoi Andrei si apoi Corina

13.Sa inceapa Florina apoi Corina si apoi Andrei

Evident ca si pentru finalizare vom avea tot 13 posibilitati

Deci numarul total de posibiltati diferite in functie de cand incepe si termina fiecare este 13*13 = 169

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Pentru ca sa existe o perioada in care sa se suprapuna cei trei trebuie ca inainte sa termine cineva sa fi inceput toti trei. Adica orice moment de sfarsit trebuie sa fie strict mai mare decat orice moment de inceput. Daca notam cu x1,x2,x3 momentele de inceput si cu y1,y2,y3 momentele de sfarsit trebuie sa avem
s=maxim(x1,x2,x3)<minim(y1,y2,y3)=t
Astfel intervalul comun tuturor va fi [s;t]
Numarul posibilitatilor de asezare temporala pentru x1,x2,x3 va fi acelasi ca si pentru y1,y2,y3, deoarece seturile sunt separate de intervalul (s,t)
Cazul I: x1,x2,x3 diferite => factorial(3) = 6 cazuri
Cazul II: x1=x2>x3, x1=x2<x3 x1=x3>x2, x1=x3<x2, x2=x3>x1, x2=x3<x1 => 6 cazuri
Cazul III: x1=x2=x3 => 1 caz
deci 13 modalitati de a incepe si 13 modalitati de a termina
Total 13*13=169 modalitati de asezare

 

Andrei Goku:

Pentru ca cei trei sa se suprapuna la un moment dat e nevoie ca toti sa inceapa sa cante, fara ca vreunul sa se opreasca. Problema se rezuma deci la numarul de modalitati diferite de a incepe cantatul, fiind acelasi cu numarul de modalitati diferite de a termina cantatul.

1. Cei trei incep sa cante unul dupa altul. In total P(3) = 3! = 6 posibilitati diferite.
(A C F) (A F C)     (C A F) (C F A)     (F A C) (F C A)

2. Doi dintre ei incep in acelasi timp. Sunt C(3,2) = 3 grupuri de cate doi, pentru fiecare exista P(2) = 2 ordini diferite cu persoana ramasa. In total C(3,2)*P(2) = 6 posibilitati diferite.
([A C] F) (F [A C])      ([A F] C) (C [A F])          ([C F] A) (A [C F])

3. Toti trei incep in acelasi timp. O singura posibilitate (C(3,3)*P(1)).

In total sunt 13 posibilitati diferite de a incepe cantatul si tot atatea de a-l termina, deci 13^2 = 169 posibilitati de a incepe si termina cantatul in asa fel ca cei trei sa se suprapuna.

Problema poate fi generalizata pentru n copii.