Soluţie (Szabo Zoltan, Andreea Zaharia, Ştefan Gaţachiu, Mircea Popoveniuc, Ady Nicolae, Gina Granu, Cristian Bălănoiu):

            Călugării știu că există cel puțin un blestemat printre ei. Să presupunem că sunt n călugări sub blestem, și să vedem ce se întâmplă pentru diferitele valori ale lui n:

Dacă n=1

Există un singur călugăr cu punct roșu pe frunte. El vede că toți colegii lui sunt "curați", de unde deduce că el este singurul blestemat și seara la ora 7 se va sinucide.

Fiecare coleg "curat" va vedea doar un singur călugăr cu punct roșu pe frunte, care se va sinucide seara la ora 7, 

La ce se gândește călugărul care vede un călugăr blestemat?

"Printre noi există cel puțin un călugăr blestemat, că eu văd unul. Dacă eu sunt curat (adică fără semn roșu pe frunte), el se va sinucide seara la ora 7, dar dacă nu s-a sinucis, atunci eu sunt marcat cu roșu pe frunte, și el așteaptă ca la ora 7 să mă sinucid eu.

Dacă la ora 7 s-a sinucis colegul meu, atunci eu îmi dau seama că sunt curat.

Dacă însă la ora 7 el nu s-a sinucis, atunci eu îmi dau seama că sunt blestemat împreună cu el, iar el văzând la fel ca și mine doar un singur călugăr blestemat care nu s-a sinucis la ora 7, va conștientiza că și el este blestemat, și mâine la ora 7 ne vom lua viața amândoi."

Dacă n=2

Un călugăr care vede 2 colegi blestemați, așteaptă două zile. Dacă în a doua seară la ora 7 cei doi colegi de-ai lui se vor sinucide conform deducției anterioare, atunci călugărul știe că e curat, în caz contrar, toți trei vor deduce după a doua seară "liniștită" că sunt blestemați și se vor sinucide în seara a treia la ora 7.

Cu inducție matematică se poate demonstra, că existând k călugări blestemați, aceștia se vor sinucide în cea de-a k seară, pentru orice valoare naturală a lui k.

În problema noastră s-au sinucis câțiva călugări în a 7-a seară. Deci s-au sinucis exact 7 călugări blestemați, toți cei care aveau semnul pe frunte.

Variantă (Bogdan Burlacu):

Pt rezolvarea problemei am inceput cu un caz mai simplu: 2 calugari in conditii similare cu problema originala. Avem doua cazuri, in prima zi fie doar unul are semnul pe frunte, fie amandoi:

01 si 11

In cazul 01 in prima seara se va sinucide sigur calugarul care are semnul deoarece vede ca celalalt calugar nu este blestemat si el stie ca sigur exista un calugar blestemat.

In cazul 11, fiecare calugar vede ca celalalt poarta semnul insa nu au cum sa fie siguri ca ei insisi il au sa nu. Ca atare, ambii calugari asteapta sa vada daca celalalt calugar se va sinucide in prima seara, in acest caz este clar ca nu au semnul, in caz contrar inseamna ca celalalt calugar a vazut semnul pe fruntea lor deci in a doua seara se vor sinucide amandoi.

Continuand aceasta logica pt cazul cu 3 calugari, observam ca daca un singur calugar este marcat , in prima seara se sinucide, daca sunt doi, atunci mai este necesara o seara pt deciderea problemei, etc. Practic plecand din prima seara cu un minim de 1 calugar marcat, cu fiecare seara care trece, minimul de calugari marcati (de care participantii sunt siguri) creste cu 1 pana cand intr-o anumita zi calugarii sunt siguri pe un minim de calugari marcati = cu cel real, in acel moment, fiecare calugar marcat va observa ca sunt mai putini calugari decat minimul pe care-l stie deja pt cei blestemati asa ca va trage concluzia ca si el poarta semnul, ca atare in acea zi toti cei marcati se vor sinucide.

Ca sa raspund si la intrebarea problemei, sunt 7 calugari marcati, care se sinucid. Logica am descris-o mai sus.

Leonardo Proca a dat numai răspunsul, fără demonstraţie.

 

Printre diversele variante ale problemei, o redau pe cea postată la începuturi, în 2001 (săptămîna 8), când am primit-o de la Cătălin Frâncu:

Un imparat dorea sa testeze capacitatea Sfatului Batranilor, care numara 12 intelepti. Pentru aceasta, a chemat in ajutor un intelept de peste mari  si tari. Acesta a adunat batranii la sfat si le-a spus: "In aceasta  punga am 12 pietre pretioase, rubine si safire. In fata fiecaruia dintre voi se afla cate un sipet. Am sa va invit, pe rand, pe fiecare dintre voi, sa parasiti incaperea, si am sa va pun in sipet o piatra pretioasa la intamplare. In felul acesta, fiecare din voi va sti ce se afla in sipeturile celorlalti, dar nici unul nu va sti ce se afla in propriul sipet. Apoi, am sa va invit sa ghiciti ce se afla in sipetul vostru."

 Zis si facut. Inteleptul a asezat cate o piatra in sipetul fiecarui batran, fara ca acesta sa vada, apoi le-a spus: "Cei care au rubine in cutie, sa vina la mine". Nici unul din cei 12 nu s-a miscat. Imparatul, manios, a dat sa le taie capul tuturor, dar inteleptul i-a facut semn sa aiba rabdare. Dupa 10 minute, inteleptul si-a repetat invitatia. Din nou, nimeni nu s-a miscat. Invitatiile s-au repetat din 10 in 10 minute, pana cand dupa o ora de la prima chemare, un numar de intelepti s-au ridicat si si-au adus sipeturile la intelept. Acesta le-a deschis: in fiecare se afla un rubin. Inteleptul a deschis si sipeturile inteleptilor care continuau sa stea jos: fiecare continea cate un safir.

 Cate rubine erau si cum au judecat inteleptii?

 

În zona de comentarii se află şi alte enunţuri de probleme similare.