Soluţii corecte:  Zoltan Szabo, Ady Nicolae, Arthur Weber, Ionel-Vasile Pit-Rada, Stefan Gatachiu (partial, necesita presupunerea ca tortul este un paralelipiped dreptunghic), Camelia Mesetescu

 

Zoltan Szabo:

Soluția 1:

O persoană va tăia torul în n felii identice. Ceilalți n-1 vor hotărâ o ordine în care își vor alege felia de tort. Ultima felie va rămâne pentru cel care a tăiat tortul.

Este evident că fiecare persoană se va strădui să aleagă felia cea mai mare, iar cel care feliază are interesul să împartă tortul în felii identice ca mărime, pentru că va primi cea mai mică felie. Maximizarea minimului se obține când toate feliile au mărimea 1/n din cantitatea de tort.

Soluția 2a : 

Cazul în care numărul de persoane n este putere a lui 2:

În acest caz persoanele vor forma două grupe de câte 2^(n-1) persoane. O persoană dintr-o grupă va tăia tortul în două, iar cealaltă grupă va alege bucata care dorește. Interesul celui care taie este de a tăia torul exact în două, pentru că altfel grupa cealaltă va alege bucata mai mare. Astfel pentru fiecare grupă de 2^(n-1) persoane avem câte o bucată de tort. Procedeul se preia asemănător până când grupele vor fi formate dintr-o persoană. Atunci toți vor fi mulțumiți.

Soluția 2b : 

Dacă n nu este putere a lui 2:

Algoritmul este asemănător, dar trebuie să definim noțiunea de mulțumire: Un individ sau un grup este mulțumit, dacă a avut posibilitatea să aleagă oricare bucată de tort din cele existente, respectiv dacă are prilejul de a tăia, sau să indice cum să taie tortul cel care va felia.

Astfel dacă n este par se formează două grupe cu același număr. Dacă n este impar, n=2k+1, se formează un grup de k și un grup de k+1 de persoane. Un reprezentant al grupei de k persoane va tăia torul în două, iar grupa de k+1 va alege felia dorită. În acest caz depinde de corectitudinea celui care taie, întrucât dacă tortul este tăiat în două bucăți identice, grupa mai numeroasă va fi mulțumită conform definiției (pentru că a putut să aleagă), însă porția/persoană va fi mai mică decât în cazul grupei mai puțin numeroase, unde aceeași cantitate de tort se împarte la mai puțini. 

Algoritmul se va relua pentru fiecare bucată de tort până când numărul de persoane devine 1 la fiecare felie.

Conform modului de concepere al algoritmului, toți vor fi mulțumiți.

 

Ady Nicolae:

Cazul particular: n=3

Fie cele 3 persoane A, B, C

1.       A va tăia tortul în 3 bucăţi. Deoarece el va alege ultimul, se va strădui să taie tortul cât mai egal posibil.

2.       B şi C îşi vor alege fiecare bucăţile de tort.

3.1. Dacă bucata aleasă de B nu va coincide cu cea aleasă de C, atunci fiecare îşi va lua bucata dorită, urmând ca A să ia ultima bucată rămasă.

Toţi 3 vor fi mulţumiţi deoarece B şi C şi-au ales bucăţile dorite, iar A a tăiat tortul, deci în opinia lui toate cele trei bucăţi sunt egale.

3.2. Dacă bucăţile alese de B şi C coincid, atunci B va tăia din bucata aleasă (atât de el cât şi de C) o felie, astfel încât bucata să devină egală cu a doua bucată preferată de el.

4. Vor alege în ordinea C, B, A.

Toţi vor fi mulţumiţi deoarece: C a putut face prima alegere, B are de ales dintre două bucăţi care în opinia lui sunt egale, A pentru că a tăiat tortul în bucăţi egale, din punctul lui de vedere oricare este bună.

5. Bucata tăiată de B la punctul 3.2 va fi împărţită la cei trei  urmând acelaşi raţionament, ca şi pentru tortul întreg.

Extrapolând algoritmul pentru N persoane obţinem un număr imens de paşi.

 

Arthur Weber:

Notăm participanţii cu p[1], p[2], ... , p[n]. p[1] marchează unde să se taie o anumită felie. p[2] poate dacă doreşte să micşoreze felia. La fel, această posibilitate fără obligaţie le revine tuturor celorlalţi rând pe rând, până la p[n]. După aceea, participantului care a realizat ultima micşorare a feliei îi revine felia. Rămân aşadar n - 1 participanţi care să-şi împartă restul tortului după acelaşi algoritm. Procedura se repetă până rămân 2 participanţi, în cazul cărora se aplică regula menţionată şi în enunţ.

 

Stefan Gatachiu:

Să presupunem că tortul este sub forma unui paralelipiped dreptunghic.

O altă persoană decât cele n, să o numim „arbitru”, plimbă cuțitul de la marginea din stânga a tortului, ușor, spre dreapta pe direcția lungimii bazei tortului, până când o persoană spune „Stop!”, aceasta apreciind că acolo trebuie tăiat tortul pentru ca felia obținută să fie 1/n din tortul întreg. Arbitrul taie tortul în locul precizat și înmânează persoanei respective felia de tort. Celelalte n-1 persoane sunt mulțumite, deoarece ele consideră că lor le-a mai rămas cel puțin (n-1)/n din tort. Apoi procedeul continuă.

Dacă sunt mai multe persoane care strigă „Stop!” simultan, atunci felia tăiată se va da uneia din aceste persoane la întâmplare (eventual prin tragere la sorți). Celelalte persoane din acest grup nu au de ce să fie nemulțumite, deoarece la continuarea algoritmului au posibilitatea să strige „Stop!” pentru a obține o felie la fel cu cea care au pierdut-o  la tragerea la sorți.

Procedeul continuă până rămân două persoane. În acest caz se poate aplica metoda descrisă în enunțul problemei.

Dacă nu este permisă folosirea unei alte persoane decât cele n ca arbitru, atunci oricare din cele n persoane poate juca rolul de arbitru. În acest caz și arbitrul poate striga „Stop!” și, după ce va primi felia de tort, o altă persoană din cele rămase va juca rolul de arbitru.