Soluţii corecte:  Aurel Ionescu, Zoltan Szabo, Ady Nicolae, Camelia Musetescu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Stefan Gatachiu, Viorel Manta, Mihaela Marghescu, Dan Batalu, Emil Claudiu Man, Marius Alecsandru

 

Ady Nicolae:

Cifra 8 nu poate fi aşezată în colt, deoarece nu există decât o singură variantă pentru această cifră:

8+3+1=12

1
8
3

 

Pe prima linie avem două variante:

1	7	4
8
3

Sau

1	5	6
8
3

Doar varianta a doua are soluţie:

1	5	6
8		4
3	7	2

 

Zoltan Szabo:

Exista solutii pentru 12, 13, 14, 15

Solutie 12:

1 8 3

5    7

6 4 2

Solutie 13:

1 8 4

7    3

5 2 6

Solutie 14 (cea din enuntul problemei):

8 1 5

2    6

4 7 3

Solutie 15:

8 1 6

4   2

3 5 7

Observăm că solutiile 13 si 14, respectiv 12 si 15 sunt complementare.

Intr-adevar dacă

x1 x2 x3

x4     x5

x6 x7 x8

este o solutie, atunci folosindu-ne de proprietatea ca multimea {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8} este {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Dar si multimea {9-x1, 9-x2,9-x3,9-x4,9-x5,9-x6,9-x7,9-x8} este de asemenea multimea {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Deci inlocuind numerele x1, x2, x3 cu 9-x1, 9-x2, 9-x3 constanta patratului se va transforma din x1+x2+x3 in 27-(x1+x2+x3), deci avand un patrat cu constanta 14, putem construi cu conversia de mai sus patratul cu constanta 13. 

In mod asemanator avand constanta 12 putem ajunge la patratul cu constanta 27-12=15.

In continuare putem demoinstra, ca patate cu alte constante nu exista.

Observam ca patratul cu constanta 12 are in colturi "aproape cele mai mici elemente":

1 8 3

5    7

6 4 2

Numerele din colturi 1,2,3,6 sunt acele numere care se socotesc de doua ori, o data pe linie si o data pe coloana. Celelalte numere de pe muchii se socotesc cate o singura data.

Observam ca numerele din colturi au o tendinta crescatoare in paralel cu cresterea sumei:

pentru 12: 1, 2, 3, 6 (suma elementelor 12)

pentru 13: 1, 4, 5, 6 (suma elementelor 16)

pentru 14: 3, 4, 5, 8 (suma elementelor 20)

pentru 15: 3, 6, 7, 8 (suma elementelor 24)

Observam ca aceste sume formeaza o progresie aritmetica cu ratia 4, deci pentru a gasi o solutie cu suma 11, ar trebui sa gasim patru numere naturale pentru colturi cu suma 12-4=8.

Insa cele mai mici 4 numere au suma 10=1+2+3=4, deci problema nu are solutie pentru suma <= 11.

Problema nu are solutie nici pentru suma >=27-11=16.

In consecinta singurele solutii sunt prezentate mai sus.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Cartonasele pot fi asezate astfel:

1  5  6

8      4

3  7  2

Exista 8 solutii de asezare astfel incat suma pe fiecare latura sa fie egala cu 12.

Daca numerele ar fi parcurse circular, in toate cele opt solutii am obtine 1,5,6,4,2,7,3,8,1 sau 1,8,3,7,2,4,6,1.