Soluţii corecte: Pit-Rada Ionel-Vasile, Szabo Zoltan, Emil Claudiu Man.

Parţial: Ştefan Gaţachiu, Angela Sandu, Aurel Ionescu, Viorel Manta, Camelia Muşetescu.

 

Pit-Rada Ionel-Vasile, Szabo Zoltan:

Fie 0<=A<=B<=C; tripletele solutie sunt (2,10,12), (4,6,14), (10,14,18), (29,33,34), (30,31,35), (54,56,58), (223,224,225) impreuna cu toate celelalte aranjamente; in total sunt 7*6!=7! = 5040 solutii;

Urmatoarul an cand exista solutie (insa A = B) este

2017=6723+6723+6733-3*672*672*673;

iar solutie cu triplet de numere distincte este pentru

2021=133+143+203-3*13*14*20.

Detaliind:

Notam x=a+b+c, y=ab+bc+ca, z=abc, avem a3+b3+c3=x3-3xy+3z si deci 2016=x3-3xy=x(x2-3y)

Analizand cele 18 perechi de divizori pentru 2016=25*32*71 avem:

(1,2016);x=1,y=negativ, nu convine; x=2016,20162-3y=1;y=2015*2017/3, y nu este natural, nu convine

(2,1008);x=2 ,y=negativ,nu convine; x=1008,y=(1008*1008-2)/3=1016062/3, y nu este natural, nu convine

(3,672);x=3,y=negativ,nu convine;x=672,y=(672*672-3)/3=224*672-1=150527 cu solutiile (223,224,225)

(4,504);x=4,y=negativ,nu convine;x=504,y=(504*504-4)/3,y nu este natural, nu convine

(6,336);x=6,y=negativ,nu convine;x=336,y=(336*336-6)/3=112*336-2=37630,fara solutii naturale

(7,288);x=7,y=negativ,nu convine;x=288,y=(288*288-7)/3,y nu este natural, nu convine

(8,252);x=8,y=negativ, nu convine; x=252,y=(252*252-8)/3,y nu este natural, nu convine

(9,224);x=9,y=negativ, nu convine;x=224,y=(224*224-9)/3,y nu este natural, nu convine

(12,168);x=12,y=negativ,nu convine;x=168,y=(168*168-12)/3=56*168-4=9404,cu solutiile (54,56,58)

(14,144);x=14,y=(196-144)/3 nu este natural, nu convine; x=144,y=(144*144-14)/3 nu este natural, nu convine

(16,126);x=16,y=(256-126)/3 nu este natural, nu convine; x=126,y=(126*126-16)/3 nu este natural, nu convine

(18,112);x=18,y=(324-112)/3 nu este natural, nu convine; x=112,y=(112*112-18)/3 nu este natural, nu convine

(21,96);x=21,y=(441-96)/3=115,fara solutii naturale; x=96,y=(96*96-21)/3=3065, cu solutiile (29,33,34) si (30,31,35)

(24,84);x=24,y=164 cu solutiile (2,10,12) si (4,6,14); x=84,y=(84*84-24)/3=2344,fara solutii naturale

(28,72);x=28,y=(28*28-72)/3 nu este natural, nu convine; x=72,y=(72*72-28)/3 nu este natural, nu convine

(32,63);x=32,y=(32*32-63)/3 nu este natural,nu convine;x=63,y=(63*63-32)/3 nu este natural, nu convine

(36,56);x=36,y=(36*36-56)/3 nu este natural, nu convine; x=56,y=(56*56-36)/3 nu este natural,nu convine

(42,48);x=42,y=(42*42-48)/3=572,cu solutiile (10,14,18);x=48,y=(48*48-42)/3=754,fara solutii naturale

Singurele solutii naturale sunt:

 (223,224,225),

(54,56,58),

(29,33,34) ,

(30,31,35),

(2,10,12) ,

(4,6,14),

(10,14,18)

 

Aurel Ionescu a mai gasit o solutie pentru anul anterior 2015: (18,23,24)