Soluţii corecte trimise de Szabo Zoltan, Emil Claudiu Man şi Aurel Ionescu.

Szabo Zoltan:

Punctul de coordonate (1,1) este necâștigător.

Toate celelalte puncte de pe linia/coloana 1 sunt câștigătoare. Într-adevăr piesa P pe fiind în orice punct (1,x) sau (x,1) cu x>1 se poate muta în (1,1) și adversarul pierde.

Acum vom studia punctele de pe linia/coloana 2. Observăm că punctul (2,2) este necâștigător, pentru că este forțat să ajungă pe linia/coloana 1 altundeva decât (1,1).

Toate celelalte puncte de pe linia/coloana 2 sunt câștigătoare. Într-adevăr piesa P fiind în orice punct (2,x) sau (x,2) cu x>2 se poate muta în punctul necâștigător (2,2).

Presupunem că orice punct (k,k) este necâștigător, și orice punct (k,l) sau (l,k), k<l este punct câștigător, permițând mutarea piesei de pe (k,l) /(l,k) în punctul necâștigător (k,k).

De aici deducem că punctul (k+1,k+1) este de asemenea necâștigător, pentru că orice deplasare a piesei de pe acest punct va rezulta un alt punct cu două coordonate distincte, adică punct câștigător.

          Care va fi decizia mea pentru jocul curent? Arbitrul pune piesa P pe un punct de coordonate date și mă întreabă decă doresc să încep jocul?

Verific dacă cele două coordonate sunt egale. Dacă piesa P este pe un punct de coordonate (x,x), atunci știu că am o situație necâștigătoare și voi refuza să fiu jucătorul A.

Dacă însă  piesa este pe un punct de coordonate (x,y) cu x<y, voi muta pe punctul (x,x) iar dacă x>y, voi muta pe punctul (y,y).

Orice mutare a adversarului va genera două coordonate distincte, iar mutarea mea va pune piesa înapoi pe prima bisectoare.

Cu această strategie voi câștiga jocul.

          Cum se schimbă strategia, dacă regula jocului ar fi: câștigă cel care nu mai poate muta?

Astfel (1,1) este punct câștigător. punctele (1,2) și (2,1) vor fi necâștigătoare. 

Orice punct ce ne transportă în (1,2) sau (2,1) este punct câștigător, deci toate celelalte puncte ale liniilor/coloanelor 1 și 2 sunt câștigătoare.

Astfel punctul (3,3) este punct necâștigător, iar celelalte puncte de pe linia/coloana 3 sunt câștigătoare.

În continuare toate punctele (k,k), k>2 sunt necâștigătoare și toate celelalte puncte câștigătoare.