Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Aurel Ionescu, Emil Claudiu Man, Ştefan Gaţachiu şi Marin (?)

Cea mai completă (toate variantele, generalizare, deomonstraţii) – pentru care am acordat un bonus de 10%  -  este cea a lui Zoltan:

Există 18 soluții în care valoarea maximă pe cub este 74.

În toate soluțiile existente maximele celor trei mulțimi sunt 69,73,74.

Soluția 1:   (52,53,60,61,68,69),  (23,25,47,49,71,73),  (-74,-70,-2,2,70,74).

Soluția 2:   (52,53,60,61,68,69), (-73,-71,-1,1,71,73), (22,26,46,50,70,74).

Soluția 3:   (20,21,44,45,68,69), (55,57,63,65,71,73), (-74,-70,-2,2,70,74).

Soluția 4:   (20,21,44,45,68,69), (-73,-71,-1,1,71,73), (54,58,62,66,70,74).

Soluția 5:   (-76,-75,-4,-3,68.69), (55,57,63,65,71,73), (22,26,46,50,70,74).

Soluția 6:   (-76,-75,-4,-3,68.69), (23,25,47,49,71,73), (54,58,62,66,70,74).

Soluția 7:   (56,57,64,65,72,73), (19,21,43,45,67,69), (-74,-70,-2,2,70,74).

Soluția 8:   (56,57,64,65,72,73), (-77,-75,-5,-3,67,69), (22,26,46,50,70,74).

Soluția 9:   (24,25,48,49,72,73), (51,53,59,61,67,69), (-74,-70,-2,2,70,74).

Soluția 10: (24,25,48,49,72,73), (-77,-75,-5,-3,67,69), (54,58,62,66,70,74).

Soluția 11: (-72,-71,0,1,72,73),  (51,53,59,61,67,69), (22,26,46,50,70,74).

Soluția 12: (-72,-71,0,1,72,73), (19,21,43,45,67,69), (54,58,62,66,70,74).

Soluția 13: (36,39,42,63,66,69), (17,18,19,71,72,73), (-52,-43,-34,56,65,74).

Soluția 14: (36,39,42,63,66,69), (-37,-36,-35,71,72,73), (2,11,20,56,65,74).

Soluția 15: (9,12,15,63,66,69), (44,45,46,71,72,73), (-52,-43,-34,56,65,74).

Soluția 16: (9,12,15,63,66,69), (-37,-36,-35,71,72,73), (29,38,47,56,65,74).

Soluția 17: (-45,-42,-39,63,66,69), (44,45,46,71,72,73), (2,11,20,56,65,74).

Soluția 18: (-45,-42,-39,63,66,69), (17,18,19,71,72,73), (29,38,47,56,65,74).

 

Vom demonstra  că valoare maximă mai mică nu poate fi pe cub.

Demonstrație:

216 =3*72. Fie 216=x+y+z, cu x, y și z numere distincte. Acceptăm că x<y<z, și deducem că z>72.

Demonstrăm, că z nu poate fi 73.

Într-adevăr, dacă z=73, atunci y=72 și x=71.

Primul cub conține numărul 73. Al doilea cub conține numărul 72. Al treilea cub va conține numărul 71.

Pentru a putea genera numărul 215, cubul 3 trebuie să conțină numărul 70. Pentru a obține 214, cubul 3 trebuie să conțină 69, pentru că toate numerele de pe toate cuburile sunt distincte. Pentru a obține 213, cubul trei va conține 68. Pentru a obține numerele 212, 211, 210... cubul 3 trebuie să conțină numerele 67, 66, 65... ceea ce este contradicție, pentru că avem deja 7 numere, iar un cub are doar 6 fețe.

Demonstrăm că există soluție cu valoarea maximă 74.

Sarcina noastră este să găsim câte 6 elemente pentru 3 mulțimi, astfel ca alegând convenabil câte un element din cele trei mulâimi să obținem orice sumă s din mulțimea {1, 2, 3, ... , 216}.

La început să observăm că mulțimile A={x,x+1}, B={y,y+2}, C={z,z+4} cu câte două elemente permit generarea a 8 numere întregi consecutive. Ușor putem verifica generarea elementelor {x+y+z, x+y+z+1, x+y+z+2, x+y+z+3, x+y+z+4, x+y+z+5, x+y+z+6, x+y+z+7}.

Însă noi avem la dispoziție câte 6 elemente într-o mulțime, adică de 3 ori mai mult decât în exemplul anterior.

Folosindu-ne de principiul bazei de numerație 3, cu trei cifre de 0,1,2 putem genera 27 de numere distincte consecutive: 000,001,002,010,...,222. Combinând această proprietate cu generarea celor 8 elemente ale mulțimilor A,B,C arătată mai sus, putem obține 8*27=216 numere distincte consecutive.

Astfel mulțimile A,B,C adaptate la 6 elemente vor fi:

A={x, x+1, x+p, x+p+1, x+2p, x+2p+1}

B={y, y+2, y+q, y+q+2, y+2q, y+2q+2}

C={z, z+4, z+r, z+r+4, z+2r, z+2r+4}, unde p q și r au valorile 8, 24 și 72 în orice ordine.

În fiecare mulțime elementele formează perechi cu diferența 1, 2 respectiv 4, cu pasul 8, 24 respectiv 72.

Fie maximele celor trei mulțimi a, b respectiv c. Avem a+b+c=216.

Admitem că a<b<c. Mai sus am demosnstrat că c nu poate fi 73. Fie deci c=74.

Avem doar două sume posibile cu trei numere distincte pentru 216 74+73+69, respectiv 74+72+70.

Să încercăm să construim trei perechi de numere distincte cu diferențele 1,2,4.

Pentru cazul (70,72,74) nu există nicio soluție.

Pentru cazul (69,73,74) avem două posibilități de a crea perechi cu numere distincte și diferențe 1,2,4:

{(68,69), (71,73), (70,74)} respectiv {(67,69), (72,73), (70,74)}.

Știind că aceste valori reprezintă maximele celor trei mulțimi, vom scădea în toate modurile posibile din perechi (8 și 16), (24 și 48) respectiv (72 și 144) (sunt câte 3!=6 cazuri) și obținem primele 12 soluții prezentate la începutul acestui material.

Pentru a găsi alte soluții, vom porni cu mulțimile inițiale: A={x,x+1, x+2}, B={y,y+3,y+6}, C={z,z+9,z+18}. Aceste mulțimi permit generarea a 27 de numere întregi consecutive. Este vorba de mulțimea {x+y+z, x+y+z+1, … , x+y+z+26}.

Însă noi avem la dispoziție câte 6 elemente într-o mulțime, adică de 2 ori mai mult decât câte elemente avem.

Folosindu-ne de principiul bazei de numerație 2, cu cifrele 0,1 putem genera 8 numere distincte consecutive: 000,001,010,...,111. Combinând această proprietate cu generarea celor 27 de elemente ale mulțimilor A,B,C, arătată mai sus, putem obține 8*27=216 numere distincte consecutive.

Astfel mulțimile A,B,C adaptate la 6 elemente vor fi:

A={x, x+1, x+2, x+p, x+p+1, x+p+2}

B={y, y+3, y+6, y+q, y+q+3, y+q+6}

C={z, z+9, z+18, z+r, z+r+9, z+r+18}, unde p, q și r au valorile 27, 54 și 108 în orice ordine.

Maximele celor trei mulțimi și de această dată vor fi 74,73 și 69. De aici putem crea într-un singur mod triplete pentru mulțimile A, B, C: {(71,72,73),(61,63,66),(56,65,74)} cu ajutorul căreia s-au construit soluțiile 13-18.

Observăm că numărul fețelor este 6=2*3=3*2=1*6=6*1. Am găsit soluții folosindu-ne de bayele de numerație 2 și 3. Alte soluții se pot căuta cu ajutorul bazei de numerație 6, studiind mulțimile:

A={x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5}

B={y, y+6, y+12, y+18, y+24, y+30}

C={z, z+36, z+72, z+108, z+144, z+180}.

Cu aceste mulțimi se pot genera 216 numere întregi distincte consecutive: {x+y+z, x+y+z+1, … , x+y+z+215}, însă oricum am alege valorile întregi x,y,z, în mulțimile A, B și C va exista cel puțin un element comun pentru două mulțimi.

Generalizare:

Avem n zaruri, să se completeze fețele zarurilor cu 6*n numere întregi distincte, astfel ca să se poată obține prin însumarea numerelor orice număr întreg din intervalul [1, 6ⁿ].

Care este minimul celei mai mari valori care trebuie pusă pe zaruri ?   Câte soluții distincte există?

Rezolvare:

Pornim de la mulțimile A₁={x₁ ,x₁+1}, A₂={x₂ ,x₂ +2}, A₃={x₃,x₃+2²}, ... , A_n={x_n,x_n+2^n-1}. Aceste mulțimi pot genera 2ⁿ numere î