Lemă: Paritatea numărului de bile albe nu poate fi schimbată de extrageri.

Demonstraţie: Fie X numarul de bile albe dinainte de o extragere si Y numarul de bile albe dupa acea extragere. Pot apare urmatoarele cazuri:

  I. Se extrag 2 bile negre. Ele se elimina si se pune in urna o bila neagra;

          deci X = Y.

 II. Se extrage o bila neagra si una alba. Se pune bila alba inapoi deci X = Y.

III. Se extrag 2 bile albe. Atunci se elimina ambele si se pune o bila neagra la loc; deci X = Y - 2.

Toate variantele conduc la X = Y (mod 2).

Prin urmare - iterând afirmatia de mai sus pentru toate extragerile - numarul (0 sau 1) de bile albe ramase in urnă dupa ultima extragere are aceeasi paritate cu numarul X de bile albe aflate initial in urna.

          Nu are importanţă câte bile negre sunt iniţial.

Daca X = 0 (mod 2), atunci în urnă va ramane o bilă neagră.

Daca X = 1 (mod 2), atunci bila ramasă în urnă va fi albă.

În particular:

- pentru X = 2004 (şi Y = 35), dupa 2004 + 35 - 1 extrageri, în  urnă rămâne o bilă neagră.

- pentru X = 35 (si Y = 2004), bila rămasă în final va fi albă.

Soluţii corecte primite de la  Szabo Zoltan, Ady Nicolae, Emil Claudiu Man, Aurel  Ionescu, Viorel Manta, Camelia Muşetescu, Ştefan Gaţachiu.

Soluţii parţiale:  Marius Alecsandru şi Marin (?).