Am primit soluţii corecte de la Zoltan Szabo,  Camelia Muşetescu, Aurel Ionescu şi Viorel Manta (este ultima oară când accept de la Viorel un copy/paste după o rezolvare veche).

Cea mai completă este dată de  Zoltan Szabo:

Mulţimea {a, b, a+b, a-b, a/b, a*b}  este formata din numere naturale, deci a este divizibil cu b.

Perechi de valori posibile pentru (a,b):

(2,1), (3,1) (4,1) ... (4,2) ,(6,2), (8,2),.... (6,3), (9,3), (12,3) ....

Am studiat valorile in Excel, generând cele 6 elemente ale mulțimilor.

Pentru a restrânge plaja numerelor, am scris un program ajutator prin care gasit acele sume si mulțimi care se pot genera cu 5 elemente din mulțimea {a, b, a+b, a-b, a/b, a*b}, iar al șaselea element din mulțimea {7, 10,17, 24, 43 , 49}.

Am obținut o listă de mulțimi.

De exemplu pentru (a,b)=(6,2), mulțimea {6,2,8,4,3,12} permite generarea sumei 61 cu 5 elemente din mulțime și un elemenet din {7, 10,17, 24, 43 , 49}.

De asemenea mulțimea {10, 2, 8, 12, 20, 5} poate genera sumele {92,87, 85, 84, 83, 82, 80, 79, 77, 76, 75, 74, ...}

Am încercat mai multe mulțimi peste careul

X   X   X   X   X  49

X   X  17   X   X   X

24  X   X   X   X   X

X   X   X   X   7   X

X   43  X   X   X   X

X   X   X   10  X   X

Am reușit să găsesc soluții doar cu perechea (12,3), adică  mulțimea {3, 4, 9, 12, 15, 36}.

Când căutăm soluții, trebuie să avem grijă de faptul că elementele fixe din tablou {7, 10,17, 24, 43 , 49} au resturi diferite modulo 3, respectiv  {1,1,2,0,1,1}.

În mulțimea {3, 4, 9, 12, 15, 36} doar un singur element, și anume 4, nu este divizibil cu 3, acest element are un rol important în generarea soluțiilor.

Nu toate sumele se pot genera, doar sumele de tip 3k+2 permit aranjarea convenabilă a elementelor de valoare 4 astfel:

·  pe linia și coloana lui 49 avem un 4

·  pe linia și coloana lui 17 nu avem 4

·  pe linia și coloana lui 24 avem doi de 4

·  pe linia și coloana lui 7 avem un 4

·  pe linia și coloana lui 43 avem un 4

·  pe linia și coloana lui 10 avem un 4

Am găsit foarte multe soluții, dintre care exemplific câteva:

Suma minima: S=74

Suma 75