Am primit soluţii corecte de la Aurel Ionescu, Ştefan Gaţachiu, Ady Nicolae, Szabo Zoltan, Emil Claudiu Man.
În principiu toate se bazează pe aceeaşi idee: media aritmetică devine egalitate numai în cazul când toate numerele sunt egale între ele.
Mulțimea de definiție a funcției este finită, deci și mulțimea valorilor este finită. Astfel că funcția admite un minim și un maxim.
Deci există perechea (i0,j0) astfel încât f(i0,j0)=M, unde M este maximul funcției.
Dacă i0, j0ϵ{-2106, 2016}, atunci M=0.
Presupunem că i0,j0ϵ{-2015,…..,2015}.
Aplicând relația pe care o verifică funcția pentru valorile (i0,j0), rezultă că media aritmetică a patru numere mai mici sau egale cu M este egală cu M, deci toate cele 4 valori sunt egale cu M. Rezultă că f(i0-1,j0)=M. Aplicând relația pentruf(i0-1,j0), rezultă că f(i0-2,j0)=M. Continuând algoritmul, rezultă că f(-2016,j0)=M, deci M=0.
Procedând analog pentru minimul funcției, rezultă că m=0.
Deci funcția este egală cu 0 pentru orice pereche (i,j)ϵD.
Valorile funcției f(i,j), i,j € [-2016,2016] formează o matrice pătratică cu 2*2016+1 = 4033 de linii și coloane, cu elementele de pe chenar egale cu 0, iar elementele interioare sunt egale cu media aritmetică a celor patru vecini de pe linie sau coloană f(i,j)=[f(i+1,j)+f(i−1,j)+f(i,j+1)+f(i,j−1)]:4, i,j €(−2016, 2016)
Trebuie să arătăm că toate elementele sunt egale cu 0.
Vom demonstra prin reducere la absurd.
În acest sens admitem că există cel puțin un element strict pozitiv în matrice. Notăm cu u maximul elementelor matricei. În cazul în care avem mai multe elemente de valoare maximă, vom alege elementul care are printre cei patru vecini cel puțin unul diferit de el, pe care le notăm cu x,y,z,t. Astfel u>=x, u>=y, u>=z și u>=t, iar suma lor îndeplinește inegalitatea strictă 4u>x+y+z+t, adică u > (x+y+z+t)/4,
Ceea ce este în contradicție cu u=(x+y+z+t)/4, deci nu poate exista un element strict mai mare ca 0.
În mod analog demonstrăm că în matrice nu pot exista numere strict negative.
În consecință, toate elementele matricei sunt egale cu 0.