Rezolvare
Am primit soluţii de la Aurel Ionescu şi Zoltan Szabo.
Pentru n=3 există soluție.
Avem un singur cubuleț interior.
În colorarea clasică avem 14 cubulețe de o culoare (8 colțuri și 6 centre) și 12 cubulețe de culoare opusă (mijloacele muchiilor).
Dintre cele 14 cuburi colorate la fel, vom schimba culoarea unui colțișor în culoare opusă, astfel vom obține o colorare 13+13 și am rezolvat acest caz.
Pentru n=4 există soluție.
Avem opt cubulețe interioare.
În colorarea clasică, fiecare cubuleț interior are un colț unic ce nu se învecinează cu niciunul dintre celelalte cubulețe interioare. Schimbăm colțurile în culoare opusă și am rezolvat acest caz.
Metoda de mai sus nu se poate aplica pentru alte valori naturale mai mari decât 4.
Oare există o soluție ce se poate generaliza pentru orice n număr natural?
În acest sens vom observa că într-un cub de dimensiuni n x n x n, colorat clasic, oricum am alege un cub de mărime 3x3x3, pe două fețe paralele vom avea întotdeauna 5 cubulețe de o culoare și 4 cubulețe de culoare opusă, luate de două ori, adică: 10 cubulețe contra 8 . stratul din mijloc întotdeauna este echilibrat cu câte 4+4 culori de ambele tipuri.
Deci dacă am schimba o față dintre cele două paralele în negativul ei, am obține culori 5+4 respectiv 4+5.
În consecință o soluție general valabilă este următoarea:
a. pentru toate fețele orizontale cu numărul 4k și 4k+1 vom păstra coloratura originală
b. pentru toate fețele orizontale cu numărul 4k+2 și 4k+3 vom inversa culoarea tuturor cubuleților.
În acest mod fiecare cubuleț interior va avea două fețe orizontale complementare, fiecărui cubuleț de pe o față corespunzând un alt cubuleț de pe fața cealaltă de culoare opusă. Celelalte 8 cubulețe au colorare convenabilă, câte 4-4 din fiecare culoare.
Pe o tablă 8x8x8 avem 512 cuburi cate 256 de fiecare culoare. Exceptand cuburile de pe margine, caci vorbim doar de cele din interior, raman 272 fiecare cub din mijocul unuia 3x3x3 are 26 de vecini.
Avem 8 planuri de cate 8x8 cuburi, pe care le notam P1,..P8.
Să presupunem că cubul este de culoare albă, atunci are in planul de sub el 5 negre si 4 albe, deasupra la fel iar in planul său 4 negre si 4 albe. Daca in planul de deasupra ar trebui sa fie 4 negre si 5 albe pentru a avea 13+13 vecini.
Rotind planul P3 vom avea in acesta o schimbare a tuturor cuburilor. Astfel pentru orice cub alb (de exemplu) din planul 2 vom avea 5 negre si 4 albe in planul 1, 4 albe 4 negre in P2 si 5 albe cu 4 negre in P3 adica 13 +13 vecini.
Pentru cuburile albe din interiorul P3 avem in P2 5 negre si 4 albe in P3 4+4 iar pentru a avea in P4 numarul necesar de 13+13 trebuie sa rotim si planul P4.
Deci o solutie ar fi P1 si P2 sa fie in pozitia initiala P3 si P4 rotite, P5 si P6 raman pe loc iar P7 si P8 rotite. Deci mai concret cubul nostru va avea cate doua planuri apropiate(in cazul asta 2 si 3) identice, apoi P4 si P5 si ele identice dar diferite de 2 si 3 si de 6 si 7 care si ele ar fi identice, dar diferite ca orientare fata de P8.
Cealalta solutie ar fi ca cubul nostru de 8x8x8 sa aiba cate doua randuri identice adica 2x8x8 apoi alte 2 identice rotite fata de primele si inca un astfel de paralelipiped 4x8x8 deasupra lui.
Este usor de verificat ca pentru fiecare cub din interior suma celor albe e 13 si din totalul de 26 fara el iar celelate evident sunt tot 13.
Logic
