Rezolvare:

Au trimis soluţii corecte: Aurel Ionescu, Zoltan Szabo.

Parţial corecte: Ady Nicolae, Cristian Bălănoiu

Soluţia 1 (Zoltan Szabo):

Demonstrație 1.

Cu ajutorul unui program am generat toate soluțiile posibile și am aflat că soluția este unică, formată din numerele: 787, 797, 858 cu suma palindrom 2442 și produsul maxim 538.171.062.

Sursa C++ este următoarea:

#include <iostream>

using namespace std;
int palindrom (int x)
{
    int n,inv=0;
    n=x;
    while (n)
    {
        inv=inv*10+n%10;
        n=n/10;
    }
    return inv==x;
}
int main()
{   int a[1000],n,i,i1,i2,i3,p1,p2,p3,max;
    n=0;
    for (i=11;i<1000;++i)
        if (palindrom(i))
        {
            a[++n]=i;
            cout<<i<<endl;
        }
    for (i1=1;i1<n;++i1)
        for (i2=i1+1;i2<n;++i2)
            for (i3=i2+1;i3<=n;++i3)
                if (palindrom(a[i1]+a[i2]+a[i3]))
                    if (a[i1]*a[i2]*a[i3]>max)
                    {
                        max=a[i1]*a[i2]*a[i3];
                        p1=a[i1];
                        p2=a[i2];
                        p3=a[i3];
                    }

    for (i1=1;i1<n;++i1)
        for (i2=i1+1;i2<n;++i2)
            for (i3=i2+1;i3<=n;++i3)
                if (palindrom(a[i1]+a[i2]+a[i3]))
                    if (a[i1]*a[i2]*a[i3]==max)
                    {
                        cout<<a[i1]*a[i2]*a[i3]<<endl;
                        cout<<a[i1]<<endl;
                        cout<<a[i2]<<endl;
                        cout<<a[i3]<<endl;
                        cout<<endl;
                    }
    return 0;
}

Demonstrație 2.

Problema se poate demonstra și folosind idei aritmetice, ca de exemplu: Maximizarea produsului implică numere de trei cifre. Cu cât suma numerelor este mai mare, cu atât și produsul va fi mai mare. Să notpm numerele noastre cu aba, cdc, efe. Cea mai mare sumă a+c+e, ce se poate obține din 3 cifre nu neapărat distincte, este 27=9+9+9. Deci suma maximă palindrom va fi de forma 2xxx, adică și ultima cifră va fi 2: 2xx2. 

De aici deducem că suma celor trei cifre va fi a+c+e=22. Deci fără cifrele din mijloc, obșinem suma a0a+c0c+e0e=2222. Deducem de aici că suma b+d+e se poate maximiza cu valoarea 22.

suma 22 se poate obține în următoarele moduri:

4+9+9; 5+8+9; 6+7+9; 6+8+8; 7+7+8

Cu aceste combinații încercăm toate veriantele palindrom posibile, având grijă ca toate cele trei numere să fie distincte, și alegem soluția (soluțiile) cu produsul maxim. 

Se va obține soluția: 787, 797, 858 cu suma 2442 și produsul maxim 538.171.062.

Soluţia 2 (Aurel Ionescu):

Cum abba=1001a +110b suma celor 3 este 1001(a+c+e)+110(b+d+f).Tinem cont ca produsul trebuie sa fie maxim.

Cum prima cifra a sumei poate fi maxim 2 pentru ca si suma sa fie palindrom trebuie ca ultima cifra sa fie 2 deci vom avea ultimele cifre ale celor 3 numere 9,8,5; 9,7,6 sau 8,7,7.

Cum produsul a trei numere este mai mare atunci cand numerele sunt cat mai apropiate rezulta ca vom avea 787,797 si 8x8 de unde deducem ca x=5.

Valoarea maxima este 538.171.062.

Interesant este faptul ca daca problema avea intervalul [10,10000] solutia era 7887,7997,8558 deoarece numarul de palindroame de 3 cifre este egal cu cel de 4 cifre