Rezolvare:

 

Soluţii corecte trimise de: Aurel Ionescu, Zoltan Szabo, Ady Nicolae.

Cum toate sunt similare, am păstrat soluţia lui Zoltan Szabo:

Cerinţa 1:

Vom observa, o regulă simplă ce se poate deduce din paşii următori:

1. 1 deschide toate uşile,

2. 2 va închide uşile de forma 2k

3. 3 va închide uşile de forma 3k, şi va deschide uşile de forma 6k=2*3k (cele închise la pasul 2)

4. uşile de forma 4k toate sunt închise, nu le deranjăm.

5. 5 va închide uşile de forma 5k, va deschide uşile de forma 10k=2*5k şi 15k=3*5k, va închide uşile de forma 30k=2*3*5k (cele deschise la pasul 3)

6. 6 va închide uşile de forma 6k deschise la pasul 3.

7. ...

 Algoritmul continuă analog pentru toate numerele mai mici sau egale cu 2015.

Vor fi trimise persoanele având numărul: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, ...

Nu vor fi trimise persoanele cu numerele: 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20,...

Răspuns 1:

Adică se vor trimite persoanele cu numere care se descompun în factori primi la puterea 1.

Exemplu 2=2, 10=2*5, 30=2*3*5, 210=2*3*5*7, etc.

Nu se vor trimite persoane cu numere care în descompunerea lor conţin putere mai mare decât 1.

Exemplu 4=2², 12=2²*3.

Explicaţie. Orice pătrat perfect are un număr impar de divizori, aceesul la uşă de un număr impar de ori va deschide uşa.

După ce 1 a deschis toate uşile, toate numerele mai mari decât 1 care se compun din factori distincţi nefiind pătrate perfecte vor avea un număr par de divizori, deci vor închide uşile în final. Efectul se păstrează pentru toţi multipli acestor numere. Astfel nu avem nevoie de niciun număr care în descompunerea lui are cel puţin un pătrat diferit de 1.

Cerinţa  2:

Pentru ca să fie deschisă uşa cu numărul  n, nu ne vom atinge de nicio uşă nedivizibilă cu n.

Uşile divizibile cu n sunt n, 2n, 3n, 4n,...

Scoţând factorul comun n obţinem numerele 1,2,3,4, ...  pentru aceste numere aplicăm algoritmul anterior şi ajungem la concluzia finală, că:

Vor fi trimise persoanele având numărul: n*1, n*2, n*3, n*5, n*6, n*7, n*10, n*11, n*13, n*14, n*15, n*17, n*19, ...

Nu vor fi trimise persoanele cu numerele: n*4, n*8, n*9, n*12, n*16, n*18, n*20,...

Răspuns 2:

Adică se vor trimite persoanele cu numere care sunt divizibile cu n, şi după împărţirea la n se descompun în factori primi la puterea 1.

Exemplu pentru n=3,  6=3*2, 30=3*2*5, 90=3*2*3*5, 630=3*2*3*5*7, etc.

Nu se vor trimite persoane cu numere ce nu sunt divizibile cu n respectiv numerele divizibile cu n care în descompunerea lor după împărţirea la n conţin putere mai mare decât 1.

Exemplu pentru n=4, 5 nu este divizibil cu 4, 16=4*2², 72=4*2*3².