C. Partajarea pătratelor

1 pătrat se împarte în 4 pătrate egale, rezultând în total 5 pătrate (1 pătrat mare și 4 pătrate mici) (pasul 0). Apoi, 2 pătrate mici se împart în alte 4 pătrate (pasul 1). Din aceste 4 pătrate, 2 se împart în alte 4 pătrate (pasul 2). Procedeul continuă și se oprește după pasul 100. Care este numărul maxim de pătrate care se poate obține?

Sursa: problemă originală (Ruxandra F. Olimid)

 

C. Division of squares

1 square is divided into 4 equal squares, resulting in a total of 5 squares (1 big square and 4 small squares) (step 0). Then, 2 small squares are divided into another 4 squares (step 1). Of these 4 squares, 2 are divided into another 4 squares (step 2). What is the maximum number of squares that can be obtained?

Source: original puzzle (Ruxandra F. Olimid)

Vezi comentarii
Logheaza-te in site pentru a trimite solutii si comentarii
trofin

Am o neclaritate , să înțeleg că la pașii 1,2, ... fiecare din cele  două pătrate  se împart  în alte patru pătrate  ? 


ruxandra

Da.


szabozoltan

1. În textul inițial avem

„Apoi, 2 pătrate mici se împart în alte 4 pătrate (pasul 1). Din aceste 4 pătrate, 2 se împart în alte 4 pătrate (pasul 2)”

Nu ar trebui să fie?

„Apoi, 2 pătrate mici se împart în alte 4 pătrate și mai mici (pasul 1). Pentru fiecare pătrat mic ales, din cele 4 pătrate și mai mici se aleg câte 2 și se împart în alte 4 pătrate (pasul 2)”

2. La fiecare pas cele doua patrate le pot alege convenabil, sa imi iasa un numar maxim de patrate?


trofin

D-le Szabo Zoltan , nu mai înțeleg textul problemei ?. Dacă de fiecare dată două pătrate din cele 4 rezultate la divizarea anterioară se divide iarași fiecare  în alte 4 pătrățele , cum s-ar obține un număr maxim de pătrățele după un anumit număr de pași ? Ar însemna ca după p pași acest număr să scadă sau să nu mai fie posibilă divizarea ?  După părerea mea nu există un număr maxim de pătrățele oricât de mult am continua divizarea.Poate că ar fi corectă formularea sau cerința ,  care este numărul de pătrățele în care se poate descompune pătratul inițial după p = 100 pași ?  


pitrada

Eu am considerat să interpretez enunțul astfel: "1 pătrat se împarte în 4 pătrate egale, rezultând în total 5 pătrate (1 pătrat mare și 4 pătrate mici) (pasul 0). Apoi, 2 pătrate mici se împart <fiecare> în alte 4 pătrate (pasul 1). Din aceste <8> (4x2) pătrate <noi obținute>, <se aleg> 2 <și> se împart ,fiecare> în alte 4 pătrate (pasul 2). Procedeul continuă și se oprește după pasul 100. Care este numărul maxim de pătrate care se poate obține?"


ruxandra

Interpretarea dlui Szabo este corecta. Practic la fiecare pas (cu exceptia pasului 0) din fiecare 4 patrate obtinute dintr-un patrat mai mare se aleg 2 care se divizeaza la randul lor in 4. Mai exact, la pasul 2 vor fi 4 patrate care se re-impart in alte 4 patrate (2 din un patrat mai mare anterior si 2 din alt patrat mai mare anterior). Ref. la intrebarea a doua a dlui Szabo da, patratele se aleg astfel incat sa se obtina in final un numar maxim de patrate. 


pitrada

Multumim pentru clarificari!


trofin

Cred că problema are o enigmă care ar trebui lămurită prin enunțul dat.  Odată ce se cere o divizare continuă a două pătrate rezultate în urma divizării anterioare în alte patru pătrate mai mici , nu văd cum , după un anumit număr de pași , să se obțină un număr maxim de pătrăte indiferent cum s-ar alege acele două pătrate mai mici de la pasul anterior. Un număr de pătrate da dar nu maxim. Dacă enunțul are o enigmă , este o altă problemă.  


ruxandra

Vedeti pasul 0, se numara toate patratele, indiferent de dimensiuni. Intrebarea nr.2 a dlui Szabo este corecta si are sens. Prin alegerea diferita a patratelor care se partajeaza pot sa fie obtinute in total mai multe sau mai putine patrate.


trofin

Cu tot respectul , D-na Ruxandra , vă rog clarificați condiția  : Apoi , 2 pătrate mici se împart în alte 4 pătrate (pasul 1)  . Din aceste 4 pătrate , 2 se împart în alte 4 pătrate ( pasul 2).

Se subînțelege că fiecare dintre cele 2 pătrate se împart în alte 4 pătrate ( cred că sunt identice ?), deci în total ar fi 8 pătrate mai mici (pasul 1) . Din aceste 4 pătrate în care s-a împărțit fiecare dintre cele 2 pătrate de la pasul zero,  câte 2 pătrate ( în total 4) se împart iarăși în câte 4 pătrate. 

Întrebarea este : cum să aleg convenabil 2 pătrate când îmi impuneți prin condiție să aleg două dintre cele 4 rezultate la împărțire ? 


ruxandra

Da, se aleg mereu cate 2 din fiecare set de 4 patrate obtinut la pasul anterior - vedeti si interpretarea dlui Szabo si comentariile anterioare. Aceasta alegere este impusa de conditiile problemei. Dar exact care 2 din cele 4 este totusi o alegere, nu?


pitrada

1. Patratele trebuie sa aiba laturile trasate?

2. Patratele trebuie sa aiba laturile paralele cu cele ale patratului initial?


ruxandra

1. Nu stiu daca inteleg intrebarea. Da, laturile se traseaza, se considera.

2. Da, la o prima vedere altfel nici nu imi dau seama cum ar fi posibil.


pitrada

Intrebarea anterioara incerca sa clarifice daca se numara toate multimile de 4 puncte care sunt colturile unui patrat, fara ca sa fie neaparat trasate laturile acestor patrate. In acest caz dupa pasii 0 si 1 am fi avut 6 patrate, inclusiv "rombul" formate de mijloacele celor patru laturi ale patratului initial. Dupa raspunsul dumneavoastra, pentru care va multumesc, inteleg ca nu se numara si acestea.


ruxandra

Aveti dreptate, nu se numara. Se numara doar patratele cu laturile trasate.