B. Teoria jocurilor (1)

Bazele teoriei jocurilor a fost depusă de omul de știință american John von Neumann (1903-1957). Această teorie are o aplicabilitate însemnată în matematică și în economie. În anii războiului din Coreea (1950-1953) această teorie a fost hotărâtoare ca SUA să nu declare război Chinei.

Strategiile matematice diversificate în diferite jocuri pot fi valorificate și în cazinourile de jocuri de noroc. Două filme celebre, The last casino (2004) și 21 (2008), pe baza unor întâmplări reale din anii 1990 au ca temă principală activitatea unor studenți coordonați de un profesor de la faimoasa universitate americană MIT, care au reușit să câștige milioane de dolari în cazinourile din Las Vegas.

În problema următoare jucătorul stă în fața unui dealer. Jucătorul primește inițial un număr natural n. Scopul lui este să obțină o putere a lui 10 din cât mai puțini pași. La fiecare pas, el oferă dealerului un număr natural x diferit de n, după care dealerul oferă jucătorului la rândul lui  suma n+x sau diferența pozitivă |n-x|. Dacă jucătorul primește o putere de a lui 10 atunci jucătorul jocul se oprește, în caz contrar jocul continuă.

 

Exemplu: jucătorul primește numărul 2

 Pas  - Numărul jucatorului - Jucătorul oferă - Dealerul scade -Dealerul adună - Observații

1 - 2 - 1 - 1 - 3 -Dacă dealerul scade, jucătorul câștigă

2 - 3 - 2 - 1 - 5 - Dacă dealerul scade, jucătorul câștigă

3 - 5 - 50 - 45 - 55 - Jocul continuă

4 - 45 - 55 - 10 - 100 - Indiferent de activitatea dealerului, jucătorul câștigă

4 - 55 - 45 - 10 - 100 - Indiferent de activitatea dealerului, jucătorul câștigă

De data asta în cel mai rău caz jucătorul câștigă în 4 pași. Însă jucătorul ar fi putut juca mai optim, dacă la primul pas ar fi oferit 3. Cu scăderea |2-3|=1 jucătorul câștigă, iar cu suma 2+3=5 jucătorul economisește un pas și reduce cel mai rău caz la 3 pași.

Care este numărul minim de pași prin care poate finaliza jocul jucătorul dacă primește numărul 99? Dați câte o strategie optimă.

Sursa: problema originala (Zoltan Szabo)

 

B. Teoria jocurilor (1)

The basis of game theory was laid by the American scientist John von Neumann (1903-1957). This theory has a significant applicability in mathematics and economics. In the years of the Korean War (1950-1953) this theory was decisive for the US not declaring war on China.

The diversified mathematical strategies in different games can also be used in gambling casinos. Two famous films, The last casino (2004) and 21 (2008), based on real events from the 1990s, have as main theme the activity of students coordinated by a professor from the famous American University MIT, who managed to make millions of dollars in the Las Vegas casinos.

In the next issue, the player is in front of a dealer. The player is initially given a natural number n. His goal is to obtain a power of 10 from as few steps as possible. At each step, the player gives to the dealer a natural number x different from n. The dealer then gives to the player the sum of n + x or the positive difference | n-x |. If the player receives a power of 10 then the player stops the game, otherwise the game continues.

 

Example: the player receives the number 2

Step - The number given to the player - The number given by the player - The dealer substracts - The dealer adds - Notes

1 - 2 - 1 - 1 - 3 - For substraction, the player wins.

2 - 3 - 2 - 1 - 5 - For substraction, the player wins.

3 - 5 - 50 - 45 - 55 - The game continues.

4 - 45 - 55 - 10 - 100 - No matter what the dealer does, the player wins.

4 - 55 - 45 - 10 - 100 - No matter what the dealer does, the player wins.

This time in the worst case the player wins in 4 steps. But the player could have played better, if he had been offered in the first step 3. With the decrease | 2-3 | = 1 the player wins, and with the sum 2 + 3 = 5 the player saves a step and reduces the worst case to 3 steps.

Which is the minimum number of steps to end the game if the player gets the number 99? Give an optimal strategy.

Source: original problem (Zoltan Szabo)