Am primit rezolvări corecte de la Zoltan Szabo, Aurel Ionescu, Cristian Ciobanu, Claudiu Drăgan, Dan Petrişor, Ştefan Gaţachiu, Ady Nicolae.

Soluţie parţială: Valentin Ştefan

Justificarea cea mai completă a dat-o Ady Nicolae:

Avem relațiile:

X+Y+Z+W= 711

X*Y*Z*W=711.000.000

Am considerat că prețurile sunt în cenți.

 Descompunem 711.000.000 în factori primi şi obținem: 2^6*3^2*5^6*79.

 Aşadar, va trebui ca unul dintre cele 4 prețuri să fie de forma a*79,

unde a= 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 3, 3^2, 5, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5, 5^6, 2*3, 2^2*3, etc.

Se observă că a trebuie să fie mai mic decât 9 pentru a respecta suma 711 cenți (79*9=711)

Avem a=2, 3, 4, 6, 8

Primul termen al adunării va fi unul dintre cele 4 numere: 158, 316, 474 sau 632.

 711-158=553=7*79

711-316=395=5*79

711-474=237=3*79

711-632=79=1*79

Se observă că 158 şi 632 nu sunt numere valide, deoarece nu au multipli factorilor primi specificați mai sus.

 Vom analiza cazul X=316.

711-316=395, deci Y+Z+W=395 şi Y*Z*W=2.250.000 = 2^4*3^2*5^6.

Y va trebui să fie multiplu de 2, Z multiplu de 3, iar W multiplu de 5.

Rezultă că W va fi de forma ab5, deci Y+Z va fi de forma cd0.

Avem următoarele cazuri:

Y (ef0) şi Z (gh0) cu g+h+0 multiplu de 3, rezultă Z=120 sau 240

Y (ef2) şi Z (gh8) cu g+h+8 multiplu de 3, rezultă Z=108

Y (ef4) şi Z (gh6) cu g+h+6 multiplu de 3, rezultă Z=126

Y (ef6) şi Z (gh4) cu g+h+4 multiplu de 3, rezultă Z=114

Y (ef8) şi Z (gh2) cu g+h+2 multiplu de 3, rezultă Z=204, 222, 402.

 Analizăm cazul Z=120, iar Y (ef0)

Avem 711-316-120=275, deci Y+W=275 şi Y*W=18.750 = 2*3*5^5

Ştim că Y este de forma (ef0), iar W va fi de forma (ab5)

Singurele 2 numere care satisfac aceste relații sunt: Y=150 şi W=125.

Verificare:

X=316

Y=150

Z=120

W=125

316+150+120+125=711,          316*150*120*125=711.000.000

Cele 4 prețuri sunt: 3,16 $, 1,50 $, 1,20 $, 1,25 $

Cristian Ciobanu adaugă:

Solutia este unica, daca consideram ca un produs are costul in format m,nk; Am probat aceasta si cu un programel scris in Oracle SQL, prin care iau toate combinatiile 1..711 de 4 numere si le verific:

 set serveroutput on size 1000000;
 DECLARE
   j NUMBER;
 begin
 for x in 1..711 loop
 for y in 1..711 loop
 for z in 1..711 loop
 for t in 1..711 loop
 IF x+y+z+t = 711 and x*y*z*t = 711000000 then
 dbms_output.put_line(x||' '||y||' '||z||' '||t);
 end if;
 end loop;
 end loop;
 end loop;
 end loop;
 end;
 /
120 125 150 316

Totuşi Dan Florescu a găsit o soluţie diferită:  2.08, 1.56, 0.83 şi 2.64.

Este o soluţie practică, bazată pe facilitatile Excelului. Ea ignoră ultimele cifre de la înmulţire, deoarece  produsul acestor patru numere este 7.11000576.