Problema a fost propusa de Aurel Ionescu, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Viorel Manta, Nicu Scutaru, Vasile Trofin, Stefan Gatachiu.

 

Zoltan Szabo:

Cifra 0 adaugată în fața numărului N nu schimbă nici valoarea și nici suma cifrelor, iar exprimarea rezolvării va deveni mai simplă. Deci, vom considera numărul “mare” N=012345.....201920202021, care se compune din numere “mici” consecutive.

Primele 1000 numere “mici” sunt 0, 1, 2, ...,  999, care au pe poziția unităților, zecilor și sutelor câte 100 de cifre de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Suma acestor cifre este 3*100*(0+1+2+...+9)=300*45=13500.

Următoarele 1000 de numere “mici” de la 1000 la 1999, vor avea aceeași sumă pe poziția cifrelor unităților, zecilor, sutelor (13500) iar pe poziția miilor avem 1000 de cifre de 1 cu suma 1000. Deci a diua sumă parțială este 13500+1000=14500.

Ne-au mai rămas numerele 2000, 2001, ..., 2021. Suma cifrelor este (2+3+...+11)+(3+4+...+12)+(4+5)=65+75+9=149

Deci suma tuturor cifrelor va fi: 13500+14500+149=28149.

 

Viorel Manta:

Analizam care este suma primelor 99 numere din vectorul 123456….20202021

De la 1 la 9 suma este S=45 (9x10/2). Notam cu S aceasta suma.

Deci

1….9                    S

10….19               S            plus de 1x10

20….29               S            plus de 2x10

…

90….99               S            plus de 9x10  adica

                         10xS         plus 10x(1+2+……+9) = 10S adica

Suma este Sx(10+10)=20S =900 =SS (notam asa suma numerelor pana la 100)

Pentru

1 |00 01 02……. 99|  1 se adauga de 1x100 ori (ca cifra a sutelor) si analog pentru

2 |00 01 02……..99|  2 se adauga de 2x100 ori

…..

9 |00 01 02 ……99|  9 se adauga de 9x100 ori  adica

100x (1+2+…+9) + 9xSS = 100xS + 9xSS adica

SM1 (suma numerelor intre 100 si 999) = 100x45+9x900 = 4500+8100=12600

Suma numerelor intre 1 si 999 este deci SM=12600+900=13500

Pentru numerele dintre 1000 si 1999 numarul 1 va apare de 1000 ori (ca cifra a miilor) restul sumei numerelor fiind egala cu SM recte cu 13500

In concluzie suma numerelor din vector cuprinse intre 1000 si 1999 este

13500+1000=14500

Pentru numerele din vector cuprinse intre 2000 si 2021 avem de cifra 2 de 22 ori (ca cifra a miilor)

S2Mp=22x2=44 apoi

1….9         S

10…19      S            plus de 1x10

20 si 21  2+2+1=5

Adica 2xS+10+5=2x45+10+5=105 deci suma cifrelor vectorului situate in dreapta lui 2000 este

S2M=44+105=149

Suma totala (ST) a cifrelor din vectorul considerat este

ST= 13500+14500+149=28149

 

Stefan Gatachiu: